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假设待测物体以如下的规律运动:
式中,t为运动时间; xc,yc,zc为待测物体基准点在测量的基准坐标系中的坐标; θx,θy,θz分别为待测物体绕x,y,z坐标轴的欧拉角(xyz顺序)。
测量中激光位移传感器按照表 1中的位置进行安装。
laser displacement sensor number x/m y/m z/m 1 0.1129 -0.2087 0.0000 2 -0.0846 -0.2087 0.0000 3 0.1259 0.0058 0.0000 4 0.1079 0.0000 -0.0270 5 -0.0676 0.0000 -0.0270 6 0.0000 -0.0100 -0.0270 Table 1. Installation position of laser displacement sensor
根据(13)式中给出的待测物体的实际位置,可以确定3个定位平面所在几何平面的方程,将表 1中激光位移传感器的安装位置分别代入对应的方程就可以预测出6个激光位移传感器的读数,然后再利用预测的读数、使用上述方法解算出待测物体的位移和欧拉角,如图 4和图 5所示。其中δxc,δyc,δzc分别为待测物体基准点坐标误差,δθx,δθy,δθz分别为3个欧拉角误差。
可以看出, 由于没有考虑外界误差因素的影响,理论值与解算值几乎完全相同,这里的误差主要来自于解算过程中计算机的舍入误差。
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测量误差主要来源于位移计安装位置坐标的测量误差,位移计安装方向的偏差导致的测量偏差,位移计自身的测量误差,测量平面的粗糙度以及倾斜程度,以及3个测量平面不完全互相正交带来的测量偏差[13-15]。
其中使用的激光位移传感器自身的测量误差在10μm量级,测量平面的不平整程度一般要小于这一量级,属于误差中相对最小的部分。激光位移传感器的安装位置误差和安装方向偏差导致的测量误差相对要更加明显一些。这里假设位移计安装位置的测量误差在100μm的量级。
对于以下形式的线性方程组:
式中,A为系数矩阵,x为解向量,b为右端向量。
由求解误差与方程组误差的关系[16]:
式中,δA,δx,δb分别为误差系数矩阵、误差解向量和误差右端向量。
可以看出,求解的误差的放大主要取决于方程组的条件数,同时根据实际的测量情况,即激光位移传感器测量值精度在10μm量级,测量的位移值在10mm量级,安装位置坐标在10cm量级。有:
本文中用符号~表示此符号两边的表达式为同一量级。
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根据表 1中激光位移传感其的安装位置,对应求解过程中的4个系数矩阵的条件数见表 2。
i cond (Ai) cond (Ai)/‖Ai‖ 1 31.92 10.64 2 12.62 6.43 3 1.07 1.04 4 1 1 Table 2. Condition number of coefficient matrix
对于方程组求解,求解的相对误差为:
此即位移解算的相对误差在1%的级别。
在测量仿真实验中引入如下激光位移传感器的安装位置误差,仿真得到的最大测量误差如表 3所示。
installation error/mm -20 -10 -5 -1 1 5 10 20 solving error/mm x1 0.47 0.23 0.12 0.023 0.023 0.12 0.23 0.47 y1 0.22 0.11 0.05 0.011 0.011 0.05 0.11 0.21 x2 0.46 0.23 0.12 0.02 0.02 0.12 0.23 0.46 y2 0.23 0.12 0.06 0.011 0.011 0.06 0.12 0.23 x3 0.19 0.10 0.05 0.01 0.01 0.05 0.09 0.19 y3 0.09 0.05 0.02 0.005 0.005 0.02 0.05 0.09 x4 0.29 0.14 0.07 0.01 0.01 0.07 0.14 0.29 z4 0.15 0.08 0.04 0.008 0.008 0.04 0.08 0.15 x5 0.44 0.22 0.11 0.02 0.02 0.11 0.22 0.44 z5 0.23 0.12 0.06 0.012 0.012 0.06 0.12 0.23 y6 0.70 0.35 0.18 0.04 0.04 0.18 0.35 0.70 z6 0.70 0.35 0.18 0.04 0.04 0.18 0.35 0.70 Table 3. Error caused by installation error
根据(15)式中给出的误差关系,其中由于安装误差导致的位置解算误差为:
其中:
则得到位置解算误差与安装位置误差的关系为:
使用此关系估计的误差如表 4所示。可以看出, 预计的误差和仿真实验中的结果基本相当,同时由于使用了相对保守的误差估计,这里的预计的误差结果要高于表 3中仿真实验的结果。
installation error/mm -20 -10 -5 -1 1 5 10 20 estimated error/mm 1.40 0.70 0.35 0.07 0.07 0.35 0.70 1.40 Table 4. Installation error and the estimated error
在测量仿真实验中引入如下激光位移传感器的自身元件误差,仿真得到的最大测量误差如表 5所示。
component error/mm -1 -0.5 -0.1 -0.05 -0.01 0.01 0.05 0.1 0.5 1 solving error/mm 1.81 0.88 0.19 0.09 0.014 0.017 0.10 0.20 0.82 1.87 Table 5. Error caused by component error
根据(15)式中给出的误差关系,其中由于元件误差导致的位置解算误差为:
其中:
则得到位置解算误差与安装位置误差的关系为:
使用此关系估计的误差见表 6。可以看出,估计的误差和仿真实验中的结果基本相当,同时由于使用了相对保守的误差估计,这里的预计的误差结果也要高于表 5中仿真实验的结果。
component error/mm -1 -0.5 -0.1 -0.05 -0.01 0.01 0.05 0.1 0.5 1 estimated error/mm 2.33 1.16 0.23 0.12 0.02 0.02 0.12 0.23 1.16 2.33 Table 6. Component error and the estimated error
同时考虑安装误差和元件误差,位置解算误差与安装误差和元件误差的关系如下:
如前面所述,激光位移传感器安装位置的测量误差在100μm的量级,激光位移传感器自身的测量误差在10μm量级,则根据(24)式解算的精度在±30μm的量级。