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表 1中总结了几种常用喇曼晶体的喇曼频移模及其相对光谱强度和在$1064 \mathrm{~nm}$处的喇曼增益系数, 其中主要频移模的光谱强度设为1。设喇曼光1由基频光经主要频移产生, 喇曼光2由基频光经次级频移产生, 下面代人基频光脉冲的典型参数估算归一化参量的合理范围。假设人射基频光的单脉冲能量为$e_{\mathrm{f}}=$ $30 \mathrm{~mJ}$、脉冲宽度$w_{\mathrm{f}}=10 \mathrm{~ns}$、光束半径为$1 \mathrm{~mm}$, 谐振腔的光学长度$l_{\mathrm{c}}=100 \mathrm{~mm}$, 喇曼晶体的主要喇曼频移的增益系数$g_{01}=4 \mathrm{~cm} / \mathrm{GW}$, 由$G_{01}=g_{01}\left|E_{\mathrm{f}, m}\right|^{2} l_{\mathrm{c}}$可估算出$G_{01} \approx 3.8$, 由$W_{\mathrm{f}}=w_{\mathrm{f}} / t_{\mathrm{c}}$可估算出$W_{\mathrm{f}}=30$。考虑基频光、谐振腔和喇曼晶体的参量有一定的变化范围, 数值计算的部分参数由表 2给出。
Table 1. Raman modes with their relative spectra intensities and Raman gain coefficients for common Raman crystals
ωv, 1/cm-1 ωv, 2/cm-1 n Ro, 1 Ro, 2 S[21] L G01 G02 Wf 900 300 1.8 0.1~0.4 0.01~ 0.99 4×10-7 0.05 2~20 1~10 10~50 Table 2. Parameters of numerical calculations
为提高基频光的利用率,后腔镜对基频光高透(T0=0.99),同时输出镜对基频光高反,即基频光双程通过喇曼晶体。当基频光强度和喇曼晶体一定时,腔镜对喇曼光的反射率决定了喇曼光的转化效率。为了更直观地展示反射率对转化效率的影响,假设后腔镜对喇曼光1和喇曼光2的反射率相等且均等于0.99,输出镜对喇曼光1和喇曼光2部分反射。
图 2中给出了喇曼光1和2的转化效率$\eta_{l}$、归一化峰值光强$\mathit{\Psi}_{l, \text { max }}$和归一化脉冲宽度$W_{l}$随输出镜对喇曼光2反射率$R_{0, 2}$的变化。其中, $G_{01}=10 、G_{02}=5$、$W_{\mathrm{f}}=20$。从图 2中可以明显地看出喇曼光1和2之间的竞争关系, 由于喇曼光1的喇曼增益系数大于喇曼光2, 基频光更容易向喇曼光1转化, 输出镜对喇曼光1有较小的反馈就可以获得较大的转化效率, 当喇曼光1的反射率$R_{0, 1}>0.4$时, 喇曼光2几乎不能产生, 无法实现双波长输出。
Figure 2. $\eta_{l}, \mathit{\Psi}_{l, \text { max }}$ and $W_{l}$ versus $R_{0, 2}$ for different $R_{0, 1}$ with $G_{01}=10, G_{02}=$ $5, W_{\mathrm{f}}=20$
考虑双波长同时产生的情况$\left(R_{\mathrm{o}, 1} \leqslant 0.4\right)$, 当$R_{\mathrm{o}, 2}$较小时, 基频光仅向喇曼光1转化, $R_{\mathrm{o}, 2}$对$\eta_{1} 、\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$和$W_{1}$几乎没有影响。喇曼光2的产生存在阈值反射率$R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}, R_{\mathrm{o}, 1}$越小, 腔内喇曼光1的增益越小, $R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}$也越小; 在$R_{0, 2, \text { th }}$处, $\eta_{1} 、\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$和$W_{1}$有最大值。当$R_{\mathrm{o}, 2}>R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}$时, 输出镜对喇曼光2的反馈增强, 随着$R_{0, 2}$的增大, 基频光向喇曼光2的转化增强, $\eta_{2} 、\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$和$W_{2}$随$R_{0, 2}$的增大而增大; 同时, 基频光向喇曼光1的转化减弱, $\eta_{1} 、\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$和$W_{1}$随$R_{\mathrm{o}, 2}$的增大而减小; $R_{0, 2}$一定时, $R_{0, 1}$越小, 出射的喇曼光2越强, $\eta_{2}$和$\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$越大, 喇曼光2在时间范围内消耗的基频光也越多, $W_{2}$也越大。$\eta_{2}$和$\mathit{\Psi}_{2, \max }$在某一个$R_{0, 2}$时增大至最大, 大于该$R_{0, 2}$值时, 由于输出镜对喇曼光2的透过率减小, $\eta_{2}$和$\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$随$R_{0, 2}$的增大逐渐降低。
从图 2a和图 2b中还可以看出, 选取某些$R_{\mathrm{o}, 1}$和$R_{\mathrm{o}, 2}$的值时, 可以使得$\eta_{1}=\eta_{2}$或$\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}=\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$, 如: $R_{\mathrm{o}, 1}=0.1 、R_{\mathrm{o}, 2}=0.6$时, $\eta_{1}=\eta_{2}=0.35 ; R_{\mathrm{o}, 1}=0.1 、R_{\mathrm{o}, 2}=$ 0.66时, $\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}=\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}=0.66$。图 3a和图 3b分别为$R_{0, 1}=0.1 、R_{0, 2}=0.6$和$R_{0, 1}=0.1 、R_{0, 2}=0.66$时人射基频光、喇曼光1和喇曼光2的脉冲形状。从图中可以看出, 由于晶体介质主要喇曼频移模的增益系数大, 因此基频光首先向喇曼光1转化, 与此同时喇曼光2在腔内不断积累, 当达到喇曼光2的阈值后, 基频光开始向喇曼光2转化, 喇曼光1的光强迅速减小。
Figure 3. Temporal profiles of the incident fundamental laser, Raman laser 1 and Raman laser 2 for different $R_{\mathrm{o}, 1}$ and $R_{\mathrm{o}, 2}$ with $G_{01}=10, G_{02}=5$, $W_{\mathrm{f}}=20$
由上所述, 喇曼光1的增益系数较大, 输出镜对喇曼光1稍有反射就可以形成激光脉冲。相反, 喇曼光2的增益系数较小, 要求输出镜对其有一定的反射率才会在谐振腔内有效积累, 喇曼光2产生阈值处输出镜的反射率$R_{0, 2, \mathrm{th}}$与$R_{\mathrm{o}, 1} 、G_{01}$和$G_{02}$均有关, 图 4中给出了$R_{0, 1}$和$G_{01}$取不同值时, $R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}$随$G_{01}$与$G_{02}$比值$\left(G_{01} / G_{02}\right)$的变化关系, $R_{0, 1}$取$0.1 、0.2$和0.3, 可以得到不同$R_{\mathrm{o}, 1}$时双波长输出情况下的$R_{\mathrm{o}, 2}$的取值范围。当$G_{01} / G_{02}$一定时, $R_{0, 1}$越大, 输出镜对喇曼光1的反馈越大, 喇曼光2越难产生, 对应的$R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}$也就越大。当$R_{\mathrm{o}, 1}$一定时, 有以下规律:(1) 对于相同的$G_{01} / G_{02}$, 喇曼增益系数较大时, 喇曼散射的阈值低, $R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}$较小; (2) 对于相同的$G_{01}$, 随着$G_{01} / G_{02}$的增大, 喇曼光2的增益系数减小, 因此$R_{0, 2, \text { th }}$增大; $G_{01} / G_{02}$大于一定值时, 喇曼光2的喇曼增益系数过小, 基频光向喇曼光2的转化无法进行, 仅有喇曼光1产生。
Figure 4. $\quad R_{\mathrm{o}, 2, \mathrm{th}}$ versus $G_{01} / G_{02}$ for different $R_{\mathrm{o}, 1}$ and $G_{01}$ with $W_{\mathrm{f}}=20$
$G_{01}$和$G_{02}$是影响双波长输出的重要参量, 由(10) 式可知, $G_{01}$和$G_{02}$与喇曼增益系数$g_{01}$和$g_{02}$以及基频光的峰值振幅和喇曼晶体的长度有关, 当喇曼晶体选定后, $G_{01}$和$G_{02}$随基频光的改变等比例变化。图 5中给出了$G_{01}=2 G_{02} 、W_{\mathrm{f}}=20$时, $\eta_{l} 、\mathit{\Psi}_{l, \text { max }}$和$W_{l}$随$G_{01}$的变化。
Figure 5. $\eta_{l}, \mathit{\Psi}_{l, \text { max }}$ and $W_{l}$ versus $G_{01}$ for different $R_{\mathrm{o}, 1}$ and $R_{\mathrm{o}, 2}$ with $G_{01}=$ $2 G_{02}, W_{\mathrm{f}}=20$
从图 5a和图 5c可以看出,在不同$R_{\mathrm{o}, 1}$和$R_{\mathrm{o}, 2}$的组合下, $\eta_{1}$和$\eta_{2} 、W_{1}$和$W_{2}$随$G_{01}$的变化规律相似。开始阶段, $\eta_{1}$和$\eta_{2} 、W_{1}$和$W_{2}$随着$G_{01}$的增大迅速增大, 这是因为$G_{01}$和$G_{02}$较小时, 基频光没有被完全消耗, $G_{01}$越大, 基频光消耗得越多, 双波长的转化效率和脉冲宽度就越大。
图 6a为$G_{01}=2.5 、R_{0, 1}=0.1 、R_{0, 2}=0.6$时, 人射基频光、剩余基频光、喇曼光1和2的脉冲形状。$G_{01}>6$时, 基频光被喇曼转换几乎完全消耗, 因此随着$G_{01}$的增大, 喇曼光的转化效率和脉冲宽度增长缓慢趋于饱和, 这种情况下的脉冲形状如图 6b所示。$\eta_{l}$和$W_{l}$的饱和值与输出镜的反射率有关, $R_{0, 1}$一定, $R_{0, 2}$越大或$R_{\mathrm{o}, 2}$一定; $R_{\mathrm{o}, 1}$越小时, $\eta_{2}$和$W_{2}$的饱和值越大。反之, $\eta_{1}$和$W_{1}$的饱和值越大。
Figure 6. Temporal profiles of the incident fundamental laser, depleted fundamental laser, Raman laser 1 and Raman laser 2 for different $G_{01}$, $R_{0, 1}$ and $R_{0, 2}$ with $G_{01}=2 G_{02}, W_{\mathrm{f}}=20$
如图 5b所示,$\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$的变化趋势与$\eta_{2}$相近, 首先随$G_{01}$的增大快速增大, $G_{01}>5$后增长缓慢。$\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$则与上述参量的变化明显不同, 在初始阶段, $\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$随$G_{01}$的增大而增大, 当大于一定$G_{01}$时, $\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$随$G_{01}$的变化与输出镜的反射率有关: $R_{0, 1}=0.2 、R_{0, 2}=0.6$和$R_{0, 1}=0.3 、R_{0, 2}=0.8$时, $\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$在$G_{01}>4$后基本保持不变; $R_{0, 1}=0.1 、R_{0, 2}=0.6 、G_{01}>4.4, R_{0, 1}=0.1 、R_{0, 2}=0.8$、$G_{01}>6.2$和$R_{0, 1}=0.2 、R_{0, 2}=0.8 、G_{01}>4.1$时, $\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$随$G_{01}$的增大而减小。前者产生的原因如图 6c所示, 在喇曼光1的脉冲峰值及之前, 喇曼光2的产生被喇曼光1抑制, 喇曼光2消耗的是喇曼光1脉冲后沿处的基频光, 峰值处的基频光只向喇曼光1转化, 当$G_{01}$比较大时, 不论$G_{01}$为何值, 喇曼光1都能完全消耗峰值处的基频光, 因此$\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$为一定值。后者则与之相反, 如图 6b所示, 喇曼光1和2均在产生于基频光脉冲的前沿, 喇曼光1的脉冲峰值也处于基频光的前沿, 喇曼光2产生于喇曼光1脉冲峰值处, 喇曼光2的阈值时间随着$G_{01}$的增大而提前, 则喇曼光1峰值对应的基频光强度减弱, 因此$\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$随$G_{01}$的增大逐渐减小。
脉冲宽度作为基频光脉冲的一个重要参量, 对双波长喇曼激光的输出有显著影响。图 7为$G_{01}=10$、$G_{02}=5$时, 不同输出镜反射率配置下, $\eta_{l} 、\mathit{\Psi}_{l, \text { max }}$和$W_{l}$随基频光归一化脉冲宽度$W_{\mathrm{f}}$的变化。$W_{\mathrm{f}}$加宽对喇曼光2的影响可以解释为: 基频光脉冲宽度较窄时, 由于喇曼光2的喇曼增益系数小, 输出镜对喇曼光2的反射率要相对较高才能使喇曼光2有效产生, 随着基频光脉冲宽度的加宽, 喇曼光在谐振腔内振荡的周期数增加, 输出镜对喇曼光2的高反射率使得喇曼光2在反射振荡的过程中放大效应增强, 喇曼光1的产生则受到抑制。因此, $\eta_{2} 、\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$和$W_{2}$随$W_{\mathrm{f}}$的加宽而增大。当$W_{\mathrm{f}}$较大时, $\eta_{2}$和$\mathit{\Psi}_{2, \text { max }}$随$W_{\mathrm{f}}$的变化还有以下特点: (1) 如图 7a所示, 当$R_{\mathrm{o}, 1}=0.1 、R_{\mathrm{o}, 2}=0.8 、W_{\mathrm{f}}>24, $$ R_{\mathrm{o}, 1}=0.1 、R_{\mathrm{o}, 2}=0.6 、W_{\mathrm{f}}>38$和$R_{\mathrm{o}, 1}=0.2 、R_{\mathrm{o}, 2}=$ $0.8 、W_{\mathrm{f}}>41$时, 喇曼光1的转化效率$\eta_{1}<0.05$, 基频光几乎完全消耗并转化为喇曼光$2, \eta_{2}$不再快速增长, 而是趋于饱和状态; 这时, 在$R_{0, 1}=0.1$的情况下, 对喇曼光2透过率高的输出镜$\left(R_{0, 2}=0.6\right)$得到的$\eta_{2}$更大; (2) 如图 7b所示, $\mathit{\Psi}_{2, \max }$随$W_{\mathrm{f}}$的变化规律与$\eta_{2}$相似, 首先随$W_{\mathrm{f}}$的增大快速增大, 大于一定值时, 基频光的峰值光强完全转化为喇曼光2的峰值光强, $\mathit{\Psi}_{2, \max }$成为一稳定值。此时, 对于不同的反射率组合, 由于腔内喇曼光2的峰值光强相等, 相同的透过率对应的稳定值相等, 且$R_{0, 1}$相等时, 透过率越大, 稳定值越大。
Figure 7. $\eta_{l}, \mathit{\Psi}_{l, \max }$ and $W_{1}$ versus $W_{\mathrm{f}}$ for different $R_{\mathrm{o}, 1}$ and $R_{\mathrm{o}, 2}$ with $G_{01}=$ $10, G_{02}=5$
图 7中喇曼光1的归一化参量随$W_{\mathrm{f}}$的变化可以做如下解释。图 7b中, $\mathit{\Psi}_{1, \max }$随$W_{\mathrm{f}}$的加宽首先缓慢下降, 进而在拐点后迅速减小; 图 7c中, $W_{1}$先随$W_{\mathrm{f}}$的增大而增大, 在拐点后减小, 且相同反射率组合时, $\mathit{\Psi}_{1, \text { max }}$和$W_{1}$的拐点值基本相同。这是因为在拐点前双波长激光的强弱很大程度上由喇曼增益系数决定,大部分基频转化为喇曼光1, 喇曼光2在基频光的后沿产生, 因此, $\mathit{\Psi}_{1, \max }$随$W_{\mathrm{f}}$的增大变化缓慢, $W_{1}$随$W_{\mathrm{f}}$的增大而增大。拐点的位置由反射率决定, $R_{0, 1}$一定时, $R_{\mathrm{o}, 2}$越小, 拐点的$W_{\mathrm{f}}$越大; $R_{\mathrm{o}, 2}$一定时, $R_{\mathrm{o}, 1}$越大, 拐点的$W_{\mathrm{f}}$越大。$W_{\mathrm{f}}$大于拐点后, 喇曼光2在不断振荡中放大增强, 喇曼光2的产生时间逐渐提前至基频光的前沿, 且$W_{\mathrm{f}}$越大, 喇曼光2阈值的归一化时间$\tau$越小, 因此, $\mathit{\Psi}_{1, \max }$和$W_{1}$随$W_{\mathrm{f}}$的增大而减小。基于以上的分析, 图 7a中, $\eta_{1}$随$W_{\mathrm{f}}$的变化同样存在拐点, 拐点之前$\eta_{1}$变化不大, 拐点之后$\eta_{1}$迅速减小。