二类超晶格(type-Ⅱ superlattice，T2SL)主要由Ⅲ-Ⅴ族锑化物组成，自从问世以来^[1-3]，由于其晶格稳定性好、能带可调、器件均匀性高，得以迅速发展，成为第3代制冷型红外焦平面探测器研发与应用中的热门材料。k·p方法是一种以能带态为基础的经验能带结构方法。在固体物理学中，k·p微扰理论是用来计算晶体能带结构和光学性质的常用方法，尤其是在计算有效质量的时候有明显优势。k·p微扰理论广泛用于计算各类半导体光电材料与器件^[4]，通过微扰理论求解高对称性极值点(例如Γ, Χ, L)附近的能带结构，输出信息足够精确，可以模拟半导体带隙附近的光电过程，进而用于器件级的分析和设计。包络函数近似下的k·p方法被称为“标准模型”^[5]，涵盖了从材料层、量子结构层到器件层的建模，是计算T2SL能带结构的理想方法。

采用k·p方法计算T2SL材料的能量色散曲线和电子空穴有效质量^[6]，为T2SL材料的设计与仿真提供参考与辅助^[7]，已经成为T2SL探测器材料结构设计中的主流方法。本文中归纳了k·p方法及其发展历程，系统梳理了中波、长波、甚长波T2SL红外探测器的仿真进展，讨论了不同器件结构的暗电流、量子效率和吸收光谱等性质，为T2SL材料的结构设计和工艺实现提供重要的指导。

作为Ⅲ-Ⅴ族锑基材料的一种，T2SL是由晶格常数相互接近的InAs，GaSb和AlSb及其化合物周期性交替堆叠而构成人工晶体^[8]。T2SL结构保持自然晶格的连续性，类似于周期性排列的晶格^[9]，主要包括InAs/GaSb、InAs/InGaSb以及InAs/InAsSb等材料体系，在GaSb衬底上生长以实现晶格匹配。以InAs/GaSb T2SL为例，电子与空穴分别被限制在InAs层与GaSb层中，相邻InAs层或GaSb层中的电子或空穴波函数发生交叠，以致在导带或价带中形成电子空穴微带^[10]，如图 1所示。红外辐射信号的产生需要电子吸收光子，并在最高空穴微带与最低电子微带之间跃迁产生光生载流子来完成，通过捕捉这些跃迁的光生载流子进而实现辐射信号的探测。

图  1  InAs/GaSb T2SL能带结构^[10]

Figure 1.  InAs/GaSb T2SL band structure^[10]

InAs/GaSb超晶格材料体系的能带可调特性是其主要优势所在，实际操作中通过对InAs层与GaSb层的厚度调节，可灵活实现对波长2 μm~30 μm范围内的红外辐射信号的探测^[11]。InAs层与GaSb层对电子和空穴的限制减小了电子与空穴之间的相互作用，从而有效提高了电子有效质量，减小了隧穿电流，进而降低了暗电流，为提高载流子寿命与探测器工作温度提供了理论支持。通过分别调节InAs层与GaSb层实现对电子和空穴微带的单独调控^[12]，这可以最大程度地优化能带偏调量，是该种材料体系在超晶格结构设计过程中的优势所在^[13]。基于以上优势，InAs/GaSb T2SL已成为中波、长波和甚长波红外探测器最理想的材料之一。随着外延材料的高质量制备成为可能，T2SL红外探测器有望实现高工作温度和小型化，这将大幅度拓展其在军事、遥感、环境、安防和工业领域的应用^[14]。

图 2中列出了超晶格电子结构的各种计算方法及其优缺点，主要分为经验方法和非经验方法。其中非经验方法主要是从头计算法，经验方法主要是紧束缚、k·p微扰、赝势、包络函数近似等方法。从头计算法，比如利用第一性原理的密度泛函理论，可以更精确地计算出能带结构，实现基态的自洽，但是计算量过于庞大。相比于从头计算法，半经验方法就高效很多，它可以根据经验参数高效率地得到带隙、有效质量等结果，实现资源的最大利用化。本文中所归纳的k·p方法，就是半经验方法的一种，不需要大量计算资源，仅用一些实验数据便可得到整个布里渊区的能带结构，同时可以较为准确地计算极值点附近能带的色散关系，进而推导出有效质量，故使用k·p方法就显得高效多了。

图  2  超晶格电子结构计算方法

Figure 2.  Calculation method of superlattice electronic structure

超晶格电子能带的计算也如同其它材料的能带计算，在实际的研究过程中，所用的理论方法也都是希望求解过程简单高效，使得到的理论结果与实验结果契合度更高。而k·p理论方法考虑了应力对能带排列的改变，能有效地描述带边的电子状态，在超晶格材料计算中优势极为突出。此外，在以往超晶格的实际计算中，人们对于k·p理论方法存在的不足进行了改进，衍生出了诸如全k·p理论、包络函数近似的k·p理论等一系列优化后的k·p理论方法，这使得k·p理论方法成为超晶格材料计算的重要体系^[15]。对于超晶格结构来说，只需要保证在Γ附近极值点较为精确即可，因此使用包络函数近似法是更好的选择。包络函数近似法是利用电子布洛赫函数的包络，近似描述电子的运动状态。这样理论上就可以用一个函数描述两种材料中电子运动状态，能够节省大量计算资源。解决包络函数近似常用方法有多种，比如变分法、传输矩阵法、平面波展开法和有限差分法。包络函数近似下的k·p理论只需要输入体材料参数就可将超晶格描述为完整的周期性系统，已广泛用于超晶格的建模，尤其是接近布里渊区的点。

k·p微扰理论是计算晶体能带结构和光学性质的半经验方法。在基函数不同的条件下k·p方法有不同的表现形式，哈密顿量呈现方式也不一样。包络函数近似的k·p方法是常用于预测半导体量子阱和超晶格电子性质的工具，模型中考虑了界面贡献和能带弯曲，模拟与仿真结果非常可靠^[16]。

下式是微扰理论的基础^[17]：

式中，k为电子的波矢；p为动量；H₀是未受扰动的哈密顿量，实际上等于k=0的精确哈密顿量；H_k′是微扰项，因此可以将哈密顿量写为两个项的总和，称之为k·p微扰理论；m₀为自由电子质量；V₀为无应变晶体的自洽周期势；$\hbar$为约化普朗克常数。而k·p可以写为^[17]：

对于非简并带(即在k=0时与任何其它带具有不同能量的带)，并且没有考虑自旋-轨道耦合时，在k=0处有一个极值，在最低非零阶时k·p微扰理论的结果是^[18]：

式中，n为电子的能带，u为周期函数，E为能量，m为电子质量。这里无关的特定能带用n表示，称为A类；B类由其它n′≠n的能带构成。由于k是实数向量，因此这些表达式中的矩阵元素可以重写为^[18]：

因此，只需几个未知参数，即E_{n, 0}E_{n, 0}和〈u_{n, 0}|p|u_{n′, 0}〉，就可以计算任意k处的能量。〈u_{n, 0}|p|u_{n′, 0}〉被称为“光学矩阵元”。现在常用的六带、八带模型，里面的每一个参数，都是经过实验印证的^[17]。用八带k·p方法可以很好地计算出T2SL光电探测器的电子能带结构和光学特性^[19]。

为了将单带模型扩展到完整的价带描述，考虑了自旋-轨道耦合以及3个自旋简并带。下面给出这种处理方法的概述，用下式来表示这种自旋轨道相互作用^[17]：

式中，σ、L、S分别为泡利自旋矩阵、角动量和自旋算符；c为光速，e为电子，r为实空间，V(r)为周期势。包含上述自旋-轨道相互作用的完整布洛赫波函数的薛定谔方程是^[20]:

式中，Ψ(r)为波函数，也被称为布洛赫函数。利用布洛赫定理，将(7)式扩展为空穴带和自旋轨道分裂(spin orbit，SO)带的6个中心布洛赫函数的线性组合，然后利用k·p微扰理论消除基函数与SO的耦合。6×6矩阵薛定谔方程的表达式见下^[20]:

式中，a_j(k)为本征值E(k)对应的本征矢列。Luttinger-Kohn(LK)哈密顿量H^LK为^[20]：

式中，jj′为任意两个能级，δ为狄拉克函数，α, β=x, y, z。矩阵D^αβ(α, β)=(x, y, z)表示与远距带相互作用引起的LK哈密顿量的非对角元素^[20]:

式中，j=j′为单一能带指标n，给出了哈密顿H^LK(六带的6×6矩阵)的显式形式^[20]：

其中，

式中，上标“*”表示厄米共轭，Δ是自旋轨道分裂，而γ₁、γ₂和γ₃是Luttinger参数。

在这个新的基础上，与交互作用算子无关的部分可以写成^[21]：

式中，$\boldsymbol{H}_k=\frac{\hbar^2 \boldsymbol{k}^2}{2 m_0}$，$\boldsymbol{H}_{\boldsymbol{k} \cdot p}=\frac{\hbar^2}{m_0} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{H}_{\mathrm{SO}}=\frac{\hbar^2}{4 m_0{ }^2 c^2}\left(\nabla V_0\right) \times \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{\sigma}$，$\boldsymbol{H}_{\mathrm{SO} }^{\prime}=\frac{\hbar^2}{4 m_0^2 c^2}\left(\nabla V_0\right) \times \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}$。(13)式中对H₀的操作，由于其算子是自旋无关的，因此括号内的矩阵可以写成块对角线^[21]：

式中，H_int是Kohn的4×4交互矩阵。

矩阵(15)式利用了时间反转对称性^[20]，并且可以通过导带态E_c和价带态E_v以及(13)式中的精确本征值E可以得到矩阵中的Kohn参数A′、B、P₀、M、N′和L′。这些参数可以通过实验得到，也可以根据定义进行计算。

(13) 式中〈u_i|H(k)|u_j〉里的相互作用矩阵在不考虑k的自旋-轨道矩阵〈u_i|H_SO′|u_j〉情况下，由以下得出^[21]：

式中，$A=E_{\mathrm{c}}+\left[A^{\prime}+\frac{\hbar^2}{2 m_0}\right]\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)$, $U=\frac{1}{\sqrt{3}} P_0 k_z$，$V=\frac{1}{\sqrt{6}} P_0\left(k_x-\mathrm{i} k_y\right)$, $W=\mathrm{i} \frac{1}{\sqrt{3}} B k_x k_y$, $T=\frac{1}{\sqrt{6}} B k_z\left(k_x+\mathrm{i} k_y\right)$, $P=-E_{\mathrm{v}}+ \frac{1}{2} \gamma_1 \frac{\hbar^2}{m_0}\left(k_x^2+k_y{ }^2+k_z^2\right)$, $Q=\frac{1}{2} \gamma_2 \frac{\hbar^2}{m_0}\left(k_x^2+k_y^2-2 k_z^2\right)$，$R = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\gamma_2 \frac{\hbar^2}{m_0}\left(k_x^2-k_y{ }^2\right)-2 \mathrm{i} \gamma_3 k_x k_y\right]$, $S=\sqrt{3} \gamma_3 \frac{\hbar^2}{m_0} k_z\left(k_x- \mathrm{i} k_y\right)$, $Z=E_{\mathrm{v}}-\varDelta-\frac{1}{2} \gamma_1 \frac{\hbar^2}{m_0}\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)$, $E_{\mathrm{v}}=E_{\mathrm{v}}{ }^{\prime}+\frac{\varDelta}{3}$。常数γ₁、γ₂和γ₃是修正后的Luttinger参数，并根据Kohn参数给出^[21]：

修改后的Luttinger参数与所使用的Luttinger参数γ₁^L, γ₂^L和γ₃^L有关。

在8个基u_j函数下，应变相互作用矩阵的轨道部分〈u_i|D₀+D_k·p|u_j〉可由下面的矩阵得到^[21]：

式中，$w=\mathrm{i} b^{\prime} e_{x y} / \sqrt{3}, p=a\left(e_{x x}+e_{y y}+e_{z z}\right)$，$t=b^{\prime}\left(e_{x z}+\mathrm{i} e_{y z}\right) / \sqrt{6} $，$q=b\left[e_{z z}-\left(e_{x x}+e_{y y}\right) / 2\right]$，$u=P_0\left(\sum\limits_j e_{z j} k_j\right) / \sqrt{3}$，$r= \sqrt{3} / 2 \times b\left(e_{x x}-e_{y y}\right)-\mathrm{i} d e_{x y}$，$v=P_0\left[\sum\limits_j\left(e_{x j}-\mathrm{i} e_{y j}\right) k_j\right] / \sqrt{6}$，$s= -d\left(e_{x z}-\mathrm{i} e_{y z}\right), e=e_{x x}+e_{y y}+e_{z z}$。

结合包络函数近似的k·p方法常用于计算半导体量子阱和超晶格电子性质。对于空间非均匀系统，大多数包络函数近似下的k·p方法是基于Luttinger和Kohn的形式，该方法处理了均匀晶体对微弱、缓慢变化的外部扰动势的响应^[22]。通过利用Lowdin微扰理论对应变闪锌矿半导体Γ点附近电子态的八带k·p模型进行重正化获得解析色散关系^[23]。应变半导体中的能带经常使用k·p矩阵进行处理，矩阵的维数取决于布里渊区对称群以及模型中包含的能级数^[24]。例如，在直接带隙锌铅半导体布里渊区Γ点附近能带结构可由八带k·p模型准确描述。

BURT^[25]通过比较1维Mathieu点阵的精确解和方阱包络函数解给出了一个证明。方程式与标准Kohn哈密顿量类似。2002年，DENTE等人^[4]将超晶格经验赝势方法(superlattice empirical pseudopotential method，SEPM)应用在InAs/GaSb T2SL中，并将结果与有效质量方法以及经验赝势方法的计算结果进行了比较，表明SEPM方法准确地预测了这些观察结果。图 3展示了1组八带k·p计算产生的带边预测，其中InAs分别为8个单分子层(monolayer，ML)和6个单分子层，可以看出SEPM和标准模型的预测都与数据基本一致。

图  3  实验和仿真结果^[4]

Figure 3.  Experimental and simulationresults^[4]

2010年，KLIPSTEIN等人^[16]采用TAKHTAMIROV和VOLKOV的方法导出了6×6和8×8类Kohn哈密顿量，进而得到非对角项的修正算子形式^[26]。这种k·p模型考虑了界面贡献和能带弯曲，为T2SL材料仿真提供了相对可靠的模拟结果。LIU等人^[27]基于对称性原理和k·p微扰理论，将完整的哈密顿量投影到4个能态所组成的子空间，所有其它态都在微扰过程中处理。这种方法可以计算所有的矩阵元素，并且得到的矩阵元素可以根据反转对称性进行简化，此外还可以将模型哈密顿量扩展到八带。

2012年，QIAO等人^[19]推导出包含垂直和水平极化的动量矩阵元。所推导出来的表达式是包络函数形式的，比SZMULOWICZ^[28](用算符矩阵表示)的表达式更直接，也比CHANG和JAMES^[29]的表达式更简洁，JAMES的表达式仅针对价带内的子带间跃迁，忽略了导带价带之间的相互作用。2013年，KLIPSTEIN等人^[30]提出了一种新的k·p模型，该模型将TVK8(Takhtamirov-Volkov-Klipstein-8)包络函数拟合为具有少量参数的类Kane哈密顿量。2014年，KLIPSTEIN等人^[16]在以往的研究基础之上进一步对k·p模型进行修正，只需要少量的参数即可得到足够准确的T2SL材料电子性质，并且将Luttinger参数的数量从通常的6个减少到2个独立参数。

T2SL的仿真主要围绕能带结构以及暗电流、量子效率等光学和电学特性的计算。经过多年发展，k·p方法在T2SL方向中得到进一步完善，从简单的四带模型一直到十四带模型。四带模型可准确预测导带与价带之间跃迁能量，而超晶格完整的光学响应计算则需要更多能带的模型。有限元方法也被用于八带k·p计算以预测能带结构及吸收谱，可以在此基础上通过能带结构的调整进行不同工作波段的T2SL器件设计^[31]。

在实际的仿真过程中，能带调控对暗电流的变化起着重要作用。通过能带结构的仿真，可以得到材料的禁带宽度、电子空穴有效质量、载流子寿命、缺陷能级等属性，而材料的这些性质直接或间接影响暗电流分量中的某一种或几种，进而实现对暗电流的影响。例如禁带宽度的改变会直接影响两种隧穿电流的大小，会通过影响本征载流子浓度进而间接影响扩散电流的大小，也会间接影响产生复合电流的大小。电子有效质量的改变会对两种隧穿电流产生影响，也会通过影响载流子迁移率进而影响材料的扩散系数和扩散长度，从而实现对扩散电流的间接影响。对于量子效率来说，材料的吸收系数、少子扩散长度以及吸收区掺杂类型和浓度等都会对其产生一定的影响。通过能带工程得到少子质量和少子迁移率，进而影响少子的扩散系数和扩散长度，而能带仿真过程中得到费米态分布也会实现对材料吸收系数的影响，最终影响到探测器的量子效率。

中波T2SL材料一般是由10个单分子层左右的InAs、GaSb交替周期性生长构成。3 μm~5 μm波段的T2SL中波红外探测器在大气监测、气体探测和红外对抗等多个方面都有着重要的作用。中波红外探测器的性能与吸收层超晶格材料的载流子寿命有关联。T2SL由于其独特的二类断带隙排列所带来的一些理论优势，可以通过调整层厚度设计有效带隙^[22]，进而提升载流子寿命，降低器件暗电流。在中波T2SL探测器领域，国际上主要的研究机构包括美国西北大学量子器件中心(Center for Quantum Devices，CQD)、喷气推进实验室(Jet Propulsion Laboratory，JPL)、瑞典的IRnova等。

2005年，RODRIGUEZ等人^[32]使用八带k·p方法计算了10 ML InAs/10 ML GaSb结构，据此制成的PIN光电探测器的截止波长为5.6 μm，在室温下显示出良好的吸收效率。HAUGAN等人^[33]设计了用于中红外探测器应用的超晶格结构，通过使用修正后包络函数近似下的八带k·p模型对超晶格的带隙能量和其它相关参数进行计算，结果表明，8.7 ML InAs/5 ML GaSb超晶格的带隙在180 meV左右，截止波长接近6.9 μm。

2007年，中国科学院半导体研究所NIU研究组^[34]结合八带k·p方法和包络函数近似的相关计算，计算了中波段InAs/GaSb超晶格材料的相关性质，并且与实验结果有较好的数值拟合。2008年，以色列SCD(SemiConductor Device)公司^[35]提出XBN和XBP(其中X是加偏置的电极层，B是势垒层，N或者P是吸收层)型势垒器件用以抑制产生-复合(generation-recombination，G-R)电流，该公司在2013年完成了基于k·p微扰理论的超晶格电子性质计算^[30]。

2012年，QIAO等人^[19]使用八带k·p方法建立了一个包括导带和价带混合的严格的能带结构模型。求解了8×8哈密顿量并用包络函数显式推导出新的动量矩阵元后，利用费米黄金法则得到了不同掺杂和注入条件下的光学跃迁率。对14.7 ML InAs/7 ML GaSb结构的光学性质进行模拟。图 4a为能量色散关系图(左边是狄利克雷边界条件(Dirichlet boundary condition，DBC)；右边是周期性边界条件(periodic boundary condition，PBC))，图 4b为吸收光谱和光致发光光谱，图 4b中的小图，蓝色曲线表示总吸收，黑色曲线是第一重空穴带(HH1)到所有子传导带(conduction subbands，CBs)的吸收，绿色曲线是第一轻空穴带(LH1)到所有CBs的吸收，红色曲线是第二重空穴带(HH2)到所有CBs的吸收。可以看到，HH1-C2(C为导带)跃迁出现在HH1到所有CBs吸收曲线的第二阶段，这与图 4a中C2和HH1子带之间的有效带隙一致，约为470 meV。同时在界面层来研究对材料的影响，通过控制界面层的厚度和材料组成，T2SL的光学性质有望具有较大的可调范围。该模型为新型光电探测器的设计提供了有效的思路。

图  4  a—能量色散关系^[19]  b—14.7 ML InAs/7 ML GaSb T2SL吸收光谱^[19]

Figure 4.  a—energy dispersion relationship^[19]  b—14.7 ML InAs/7 ML GaSb T2SL absorption spectrum^[19]

2014年，HU等人^[36]设计了NBN结构的InAs/GaSb T2SL红外探测器，利用k·p微扰理论对InAs/GaSb T2SL吸收层能带进行计算，并从理论和实验两方面对NBN器件的暗电流特性进行了研究。中国科学院半导体研究所MA研究组^[37]报道了基于k·p模型的中波InAs/GaSb T2SL材料的设计、生长和器件工艺技术，具体结构如图 5a所示，图 5b为不同温度下的Arrhenius图。由Arrhenius图可以得到活化能ΔE_act。

图  5  a—中波器件生长顺序示意图^[37]  b—不同温度下暗电流的Arrhenius图^[37]

Figure 5.  a—medium wave device growth sequence diagram^[37]  b—dark current Arrhenius diagram at different temperatures^[37]

2018年，MANYK等人^[38]利用SimuApsys平台的8×8 k·p方法对InAs/GaSb探测器的特性进行了理论建模。计算时在哈密顿量中加入了“非公共原子”模型H_xy=700 meV的修正项来计算E-k曲线。从色散曲线估算了电子和空穴的有效质量，并计算了吸收系数α。对模拟和实验的暗电流进行了比较分析，如图 6a所示。在温度为380 K，反向偏置电压大于0.4 V时，测得的暗电流大于计算值。这说明即使在高温下，也可能存在额外的泄漏电流通道，从而导致更高的暗电流水平。在模拟探测率的基础上，计算了320 K~380 K温度范围内的探测率特性。在320 K时，模拟的理论特性与实验测量的特性相当，但在更高的温度下，由于器件的低阻和扩散长度较短，探测率的实验值不能达到理论值。如图 6b中，在温度为380 K时，波长约为5 μm，理论计算的探测率为3×10⁸ cm·Hz^1/2·W^-1，比实测值提高了3倍。

图  6  实验和理论值比较^[38]

Figure 6.  Experimental and theoretical comparison^[38]

2019年，ZHU等人^[39]通过经验紧束缚理论和k·p微扰理论建立了9 ML InAs/8 ML GaSb中波超晶格结构模型，计算了材料的电子有效质量、禁带宽度等关键参数。图 7a所示超晶格材料及能带图。下方是短波二极管，上方是中波二极管，其中中波二极管的工作波长范围为3μm ~5 μm。由图 7b可知，该器件结构在-200 mV偏压下具有中波二极管的I-V特性。此二极管探测率在中波波段达到3.7×10¹¹ cm·Hz^1/2·W^-1以上，性能较好。

图  7  a—超晶格材料的能带图^[39]  b—电流密度与电压关系^[39]

Figure 7.  a—superlattice material and band diagram^[39]  b—current density vs. voltage relationship^[39]

2021年，KIM^[40]基于k·p方法计算了10 ML InAs/10 ML GaSb T2SL中波红外探测结构的暗电流特性。研究中采用体暗电流模型，并考虑了包括表面漏电流在内的4种暗电流机制，通过建模得到了测量值。为了使暗电流密度的理论值和实验值相等，在计算隧穿分量时，假定了一个三角形势垒和一个单一的有效陷阱态。在负偏压和温度分别为50 mV和77 K时，T2SL光电二极管的截止波长约为5.6 μm，暗电流密度为1.9×10^-5 A/cm²。尽管表面漏电流占总暗电流密度的百分比随着反向偏置的增加而减小，但在大多数测量值中，可以看出总暗电流是由表面漏电流决定的。因此，如果要改善低禁带PIN结构红外探测器的电学特性，就必须开发更先进的钝化技术。如图 8a说明了基于测量光谱的光子能量随温度的变化，图 8b中，离散的红点和粗红色曲线分别表示测量和模拟的暗电流密度，可以看出测量和模拟的实验结果有很好的相关性。

图  8  实验测量和理论模拟^[40]

Figure 8.  Experimental measurements and theoretical simulations^[40]

2021年，KESARIA等人^[41]采用Nextnano软件中的八带k·p包络函数方法对图 9a、图 9b所示的7 ML InAs/4 ML GaSb T2SL的能带结构进行建模。图 9a在两个界面处具有InSb界面层；图 9b在GaSb-on-InAs层上具有InSb层，并且在InAs-on-GaSb层上具有尖锐界面；图 9c的带隙为225 meV，与荧光结果的预测值一致；图 9d中的带隙为237 meV，与图 9c相比发生了红移，这进一步表明，InAs/GaAs超晶格的能带能量可以通过在两个界面上插入InSb层而调谐到更长的波长。

图  9  a，b—7 ML InAs/4 ML GaSb T2SL不同界面结构下的能带结构示意图^[41]  c，d—微带色散示意图^[41]

Figure 9.  a, b—schematic diagram of band structure under different interface structures of 7 ML InAs/4 ML GaSb T2SL^[41]  c, d—diagram of miniband dispersion^[41]

同时，KESARIA等人^[41]分别模拟和测量了中波InAs/GaSb T2SL两种样品的光学性质，并模拟了110 K和200 K下的暗电流密度，分别为5.35×10^-5 A/cm²和0.108 A/cm²，如图 10a、图 10b所示。并且在110 K下，低偏置时，产生复合电流占主导地位，但当偏置增加到-0.2 V以上时，陷阱辅助隧穿电流占主导地位。200 K和300 K下，在低偏置时，扩散电流占主导地位，而在偏置大于-0.2 V时，产生复合和陷阱辅助隧穿电流占主导地位。同时可以看到仿真与实验吻合程度较高。

图  10  暗电流密度模拟^[41]

Figure 10.  Dark current density simulation^[41]

2021年，KRIZMAN等人^[42]使用八带k·p方法模拟研究GaSb衬底上应变平衡的InAs/InAsSb超晶格的能带结构参数，并根据相关能带结构参数仿真出InAs/InAsSb超晶格的能带图，如图 11所示。这些参数对于深入了解中波红外光电探测器的电学和光学性质将是非常有意义的。

图  11  a—150 K时提取的一个周期的InAs/InAsSb SL能带示意图^[42]  b—150 K时InAs/InAsSb SL在k_x和k_z方向上的微带色散^[42]

Figure 11.  a—schematic diagram of energy band in one period ofInAs/InAsSb SL extracted at 150 K^[42]  b—diagram of miniband dispersion of InAs/InAsSb SL in the k_x and k_z directions at 150 K^[42]

2021年，DU等人^[43]基于k·p模型设计并研究了单极势垒结构的7 ML InAs/4 ML GaSb T2SL红外探测器，其50%截止波长为4 μm，同时采用了NBN和PBP两种单极势垒结构来减小器件的生成复合暗电流。图 12a、图 12b所示分别为两种结构的暗电流曲线和探测率曲线。可以看出，随着吸收层厚度的增加，暗电流逐渐增加，探测率逐渐降低。

图  12  不同吸收层厚度下的曲线^[44]

Figure 12.  Curve under different absorption thickness^[44]

2021年，SINGH等人^[44]通过适当的能带工程，利用M结构超晶格作为吸收层和势垒层进行了详尽的分析，用八带k·p方法计算了理想M结构的电子能带性质，并将其与具有几乎相似带隙和电子有效质量的T2SL的能带结构特性进行比较。图 13a为M型超晶格结构示意图，在整个晶格中的每个GaSb层的中心包含额外的AlSb层，如图 13b所示，发现考虑微观界面不对称效应的带隙与实验值非常一致。同时考虑了应变和界面效应，通过基于k·p的包络近似函数与KREBS和VOISIN提出的模型相结合的方式，计算了超晶格的电子能带结构的同时，避免了无法区分公共原子与非公共原子类型界面的问题。同时测试了将M超晶格作为势垒层材料下的探测器光电性能和能带结构，最终提供了M结构超晶格的全面设计指南，展示出了M结构超晶格对于传统T2SL结构的优势。

图  13  M结构超晶格^[44]

Figure 13.  M-structure superlattice^[44]

2022年，HAO等人^[45]基于k·p方法对高工作温度的中波InAs/GaSb T2SL红外光电探测器进行了研究，该PNN探测器的示意图如图 14a所示。图 14b中给出了不同温度下的暗电流密度，可以看到，在-0.1 V下，PNN结构的光电探测器在150 K、200 K下的暗电流密度分别为8.9×10^-5 A/cm²和0.012 A/cm²。该探测器的电性能与已报道的MBE生长的中波红外超晶格探测器相当。

图  14  PNN探测器^[45]

Figure 14.  PNN detector^[45]

长波T2SL材料一般具有较窄的带隙宽度，使半导体器件可以工作在更高的波段。8 μm~12 μm波段的T2SL长波红外探测器在航天、生物医学、气象监测、资源勘探、医疗诊断、农业等多个领域都有着重要的作用。由于室温物体所发射的红外波长在长波波段，而温度的升高将会使器件暗电流的各个组分增加，所以如何抑制高工作温度下的暗电流成为长波红外探测器需要攻克的首要难题。目前国内外主要的长波探测器研究机构包括美国西北大学的CQD、以色列的SCD和中国上海技术物理研究所、超晶科技等。

2007年，NGUYEN等人^[46]介绍了一种具有M型势垒结构的T2SL光电二极管。这种结构使得超晶格在价带具有更大的载流子有效质量，从而使载流子扩散作用减弱，进而有效降低暗电流。在设计M型超晶格的过程中，基于k·p微扰理论对超晶格能带进行调控，并通过适当改变层厚度，使价带能级变化达到150 meV以上。如图 15a所示，结构组成为AlSb/GaSb/InAs/GaSb/AlSb。当使用500 nm厚的M结构时，截止波长为10.5 μm，器件最大电阻面积比没有势垒时高大约一个数量级，如图 15b所示。

图  15  a—PπMN超晶格结构^[46]  b—具有M结构势垒的二极管电学特性^[46]

Figure 15.  a—PπMN superlattice structure^[46]  b—electrical characteristics of diode with M-structure barrier^[46]

2012年，LIVNEH等人^[5]使用考虑界面态的k·p模型计算了长波红外T2SL材料的能带和光吸收谱，通过引入两个界面参数，k·p模型仅需考虑两个Luttinger参数。这种方法的计算结果与实验误差不超过0.6 μm。SUNDARAM等人^[47]报道了基于k·p方法设计的以InAs/AlSb超晶格作为势垒层的长波探测器。从超晶格材料性质入手，讨论了材料的能带结构和电子空穴波函数分布，进而通过泊松方程计算了长波红外范围的P型吸收区二极管在77 K时的自洽能带图和载流子和电场分布，分析了电流成分。得到的探测器截止波长为9.5 μm，平均量子效率50%，噪声等效温差(noise equivalent temperature difference，NEDT)为30 mK。

2014年，SCD公司的KLIPSTEIN等人^[48]用修正的k·p模型计算了3种基于InAs的T2SL的带隙和吸收光谱，即InAs/GaSb、InAs/AlSb和InAs/InAsSb。这种修正后的模型最大特征是对公共原子和非公共原子超晶格界面采用不同的矩阵，为计算InAs/InAsSb T2SL中使用的InAs_1-xSbx的3个Luttinger参数提供了一种可靠的方法。对于InAs/AlSb和InAs/InAsSb两种超晶格结构，推导出了两个独立的InAs Luttinger参数，而对另一个结构InAs/InAsSb没有调整。图 16a为器件的层排列和带分布，有源层和接触层都是由InAs/GaSb二类超晶格制成的。在一定工作偏压下，通过图 16b所示的暗电流与温度的关系图，对比PB_pP器件和N⁺-on-P二极管器件的暗电流，可以看出由于价带中较高的空穴势垒的存在，PB_pP器件中G-R电流得到了抑制。

图  16  a—接近工作偏置时PB_pP器件的层排列、带剖面^[48]  b—InAs/GaSb器件的暗电流随温度的变化关系^[48]

Figure 16.  a—layer arrangement and band profile of PB_pP devices near their working bias^[48]  b—dark current of InAs/GaSb devices changing with temperature^[48]

2014年，WANG等人^[49]公开了一种PBπN型红外探测器装置结构，如图 17所示。用k·p方法对吸收层超晶格能带结构进行调控，电子势垒超晶格被设计成相对于吸收体超晶格具有近似零价的子带偏移，InAs_0.91Sb_0.09层作为下接触层，而重掺杂P型GaSb盖层作为上接触层，使得探测器具有P-on-N极性。采用分子束外延生长得到的探测器全截止波长达到13.0 μm，在77 K和-50 mV偏压下的暗电流密度和最大电阻面积分别为5.1×10^-4A/cm²和128.5 Ω·cm²，表现出了优异的电学特性。

图  17  PBπN红外探测器^[49]

Figure 17.  PBπN infrared detector^[49]

2016年，KLIPSTEIN^[50]在以往的基础上围绕k·p微扰理论研制了基于InAs/AlSb势垒层及InAs/GaSb吸收层的异质结PBπP长波红外焦平面探测器。如图 18a所示，PBP器件的层排列、带剖面图，吸收层和势垒层超晶格都为P型掺杂，确保了在窄带隙吸收层中没有耗尽层。同时势垒层的带隙高于吸收层的2倍，所有的SRH(Shockley-Read-Hall)陷阱都被占据，因此与吸收层扩散电流相比，G-R电流可以忽略不计，从而使得探测器暗电流非常接近Rule 07的值。图 18b展示了PBP势垒器件结构相比简单二极管在低温下具有更好的暗电流性质，其焦平面性能非常值得肯定，接近碲镉汞探测器。

图  18  PBP器件^[49]

Figure 18.  PBP device^[49]

2020年，上海技术物理研究所CHEN研究组^[51]基于k·p模型设计结果制作了InAs/GaAsSb T2SL长波红外焦平面阵列，该器件采用PBπBN结构，弱P型吸收层被设计在电子势垒和分级型空穴势垒之间，有效抑制了暗电流水平，同时对势垒层进行轻掺杂保证了光生载流子的传输。在80 K时的截止波长为9.5 μm，在-0.02 V的偏压下，暗电流为1.7×10^-5 A/cm²。该高性能焦平面阵列进一步验证了InAs/GaAsSb T2SL在长波红外探测中的可行性。图 19a为InAs/GaAsSb T2SL长波红外探测器结构图；图 19b中展现了60 K~151 K下暗电流随偏压的变化。在75 K以上暗电流的主要机制是体扩散电流，当温度低于75 K时，暗电流开始以G-R和隧穿电流为主。整体可以看出，随温度升高，暗电流增大。

图  19  InAs/GaAsSb T2SL长波器件^[55]

Figure 19.  InAs/GaAsSb T2SL long wave device^[51]

2021年，KOPYTKO等人^[52]用k·p模型确定了T2SL的第一电子带、第一重空穴和第一轻空穴带，并计算了吸收系数。在理论模型的创建过程中，考虑了辐射复合、SRH过程和俄歇复合的影响，同时考虑了T2SL的光电性质，利用这些测试了探测器的性能。图 20a为InAs/InAsSb T2SL中导带和价带的位置。根据实验测得的高温下(210 K和230 K)的器件电流电压特性，如图 20b所示。证实了价带中的空穴势垒对吸收层中的载流子传输的阻挡作用。运用八带k·p模型确定NBN T2SL探测器中电导和价带的位置，并模拟出了器件的吸收光谱和截止波长以及230 K~300 K的器件能带结构，计算了超晶格材料的带隙、有效质量、亲和势等性质参数，并与已有的理论分析计算结果进行对比，发现两者拟合程度较好。同时，根据仿真结果，发现价带偏移量的增加会降低暗电流密度，但同时器件的量子效率也会随之降低。

图  20  InAs/InAsSb超晶格^[52]

Figure 20.  InAs/InAsSb superlattice^[52]

2021年，MARTYNIUK等人^[53]利用Croslight Inc.(APSYS)在第一布里渊区使用周期性边界条件进行8×8 k·p方法进行能带模拟。图 21b为图 21a的T2SL结构在210 K时的能带图，其带隙为126 meV。可以看出，100%截止波长大约为10 μm，其采用P⁺BNN⁺结构，两端的接触层采用重掺杂类型，实现了对探测器中光生载流子的有效收集。

图  21  InAs/InAsSb二类超晶格^[53]

Figure 21.  InAs/InAsSb T2SL^[53]

甚长波T2SL材料一般会具有非常小的禁带宽度以实现更高波段的光吸收。14 μm以上波段的T2SL甚长波红外探测器在卫星遥感、气象探测等方面有着非常重要的作用。影响甚长波探测器的因素有很多，而T2SL可以通过调整能带结构来减少潜在的暗电流机制，同时可以利用窄带隙控制、减少隧道效应和俄歇复合抑制来提高探测器性能。目前，国内外甚长波红外探测的主要研究机构包括美国西北大学的CQD、中国科学院半导体研究所和上海技术物理研究所等。

SAI-HALASZ和ESAKI于1977年首次提出用于InAs/GaSb T2SL结构。后来，SMITH和MAILHIOT于1987年提出了InAs/(In)GaSb T2SL结构。通过调节InAs层的厚度，超晶格的吸收截止波长可以达到25 μm左右。BROWN等人^[9]于2003年设计了一种超晶格器件，其横截面示意图如图 22a所示。利用包络函数近似下的k·p方法仿真并比较两个周期几乎相同但GaSb层宽度不同的超晶格设计，如图 22b计算的吸收光谱所示，GaSb层厚度从4 nm减少到2.65 nm时，吸收峰会被推向更长的波长。

图  22  a—器件横截面示意图^[9]  b—两种不同InAs/GaSb超晶格设计的吸收光谱^[9]

Figure 22.  a—device cross section schematic diagram^[9]  b—absorption spectra of two different InAs/GaSb superlattice designs^[9]

2016年，哈尔滨工业大学LI等人^[54]研究了截止波长为12.7 μm的InAs/GaSb T2SL甚长波光电探测器的量子效率和吸收系数，同时将实验数据与Hovel模型进行比较，确定了提高少数载流子扩散长度是提高甚长波T2SL光电探测器量子效率的关键因素。还研究了表面复合速率对甚长波T2SL材料探测器量子效率的影响，以及P型材料中少数电子具有的更长的扩散长度对提高光学效率带来的优势。图 23a为InAs/GaSb超晶格器件结构图；图 23b为实验测得的吸收系数和使用八带k·p模型仿真的吸收系数。仿真得到的吸收系数与实验测得的吸收光谱吻合较好。

图  23  InAs/GaSb甚长波二类超晶格^[54]

Figure 23.  InAs/GaSb VLWIR T2SL^[54]

半导体超晶格中的波函数可以用体材料的布里渊区中心布洛赫函数与缓变包络函数乘积之和来表示，其中体材料的导带和价带的近带边电子态通常用k·p理论来描述。尤为关键的是超晶格层间界面的波函数匹配，InSb界面层的引入将会导致超晶格内部有更高的应变，这时候就需要不断改进k·p理论方法，使得界面层的影响不断降低，使计算结果更加准确。同时，改进后的k·p理论方法，在好的近似下八带模型可以简化为六带，甚至六带模型也可以简化为四带，大大降低了计算成本。经过多年发展，k·p理论在T2SL方向中得到进一步完善，可以在此基础上通过能带结构的调整进行不同工作波段的T2SL器件设计，尤其是对于禁带宽度的预测是非常准确的。同时，修正的k·p模型对于远离布里渊区中心的，诸如能带色散、光吸收谱等电子特性也完成了更为准确的计算。

而在各个波段的仿真研究过程中，对器件的光学性质和电学性质进行有效计算的基础，就是对其能带结构的精确复现。对于指定的不同波段的色光，要求其吸收层材料拥有不同的禁带宽度，例如中短波段器件吸收层为宽带隙材料，长波和甚长波段器件要求吸收层为窄带隙或极窄带隙材料。而工作波段的不同也会导致载流子行为的差异，从而需要针对不同的吸收色光，设计合理的能带结构，例如适合长波红外探测的M结构、W结构等，使器件在所要求的波段下具有良好的性能。对器件吸收层、势垒层和接触层的能带调控要求，决定了k·p方法在能带结构乃至各个波段的器件仿真过程中的重要地位。总的来说，k·p理论在中波、长波T2SL方面的发展较为完善，向着更高工作温度、更小像元尺寸发展，而在甚长波T2SL材料体系的研究目前还是较为空白的状况，但它的战略意义非常重要，仍在飞速发展中，因此具有极高的应用价值^[55]。

T2SL材料具有稳定性好，带隙可调的优点，是发展第3代红外焦平面探测器中的热门材料。本文中从k·p基础理论出发，给出由哈密顿量推导k·p矩阵模型的核心算法，分别介绍了经典的四带、六带、八带体材料模型。在进行超晶格结构材料的仿真时，依据不同外界条件对模型进行修改，结合包络函数近似法求解T2SL材料的能带结构。包络函数近似下的k·p方法作为仿真T2SL材料的核心内容，对有效质量、能量色散关系曲线等电学性质参数有较为准确的计算结果。在此基础上系统地梳理了中波、长波、甚长波T2SL红外探测器的仿真进展。中波红外探测器趋于成熟，更多的是提高活化能，向双色和高温方向发展。长波红外探测器主要是通过器件结构的设计，如M型、XBN和XBP型势垒器件，来降低室温工作下的扩散电流。对于甚长波红外探测器而言，发展趋势主要在提高少数载流子扩散长度来优化量子效率等光学性能，以及利用窄带隙控制、减少隧道效应和俄歇复合作用来提高探测器暗电流性能。T2SL材料在红外光电材料和器件领域具有均具有广阔的发展前景，是新一代红外光电材料的最有力竞争者。