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随着互联网业务高速发展，现有的光通信系统难以满足人们日益增长的需求。由于单模光纤固有的非线性效应，其信道容量越来越接近香农极限，遏止了系统带宽进一步提高。为了满足传输带宽日渐增长的需求，基于少模光纤[1-2]、多芯光纤[3-4]的模式复用技术应运而生。少模光纤模式复用技术利用光纤中彼此正交的模式作为独立信道传输信息，能成倍提高系统传输容量。由于模式间存在随机耦合和差分模式时延，必须通过多输入多输出(multiple-input multiple-output, MIMO)均衡系统对传输信号解复用[5]。
少模光纤[6-7]信道的模式耦合、色散等损伤随时间变化，固定的光学补偿方法[8-9]无法满足系统要求，需要采用自适应均衡算法[10]的电子均衡器，实时追踪信道变化。自适应均衡算法能根据信道特性，动态地调整均衡器权系数以适应信道变化。同单模光纤通信系统相比，少模光纤通信系统差分模式时延较大，长距离传输时需要更高的均衡器阶数，时域均衡(time-domain equalization, TDE)算法因为复杂度过高而不适用，需要采用频域均衡(frequency-domain equalization, FDE)算法[11-12]。频域块最小均方(frequency-domain-block least mean square, FBLMS)算法是用LMS算法调整均衡器权系数的FDE算法，通过离散傅里叶变换理论和快速傅里叶变换，大幅度减少计算复杂度[13]，具有运算简单、快速的优势。然而FBLMS算法存在收敛速度与稳态性能之间的矛盾，固定步长的均衡算法无法同时满足高收敛速度和小稳态失调的要求。
本文中利用少模光纤传输耦合模型[14-15]建立了少模光纤通信系统。在MIMO均衡器结构的基础上，实现了变步长-频域块最小均方(variable step-size frequency-domain-block least mean square, VS-FBLMS)算法。通过数据块均方误差(mean square error, MSE)调整步长因子，可以同时保证算法收敛速度和收敛效果。与参考文献[12]中的固定步长算法相比，本文中的算法可同时达到快速自适应收敛和小稳态误差的要求。VS-FBLMS算法能补偿少模光纤的色散和模式耦合，减少长距离传输均衡算法计算复杂度，完成信道均衡处理。在Altera公司的Stratix Ⅳ现场可编程门阵列(field-programmeble gate array, FPGA)开发板上进行算法的验证实验，实验结果同仿真结果一致，表明算法切实可行，可在电子器件上实际应用。
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FBLMS算法通过应用离散傅里叶变换理论的重叠保留法[16-17]，对均衡器的输入数据分块处理，将线性卷积转化为循环卷积，利用循环卷积定理，将时域循环卷积转化为频域乘积后，用LMS算法修正频域权系数，从而达到自适应频域均衡的目的。少模光纤通信系统中的多个传输模式、相干接收机构成MIMO系统。在奈奎斯特采样频率下，每个正交相移键控(quadrature phase shift keyin, QPSK)信号被采样两次，所以需要两组均衡器均衡奇偶次序数据。对于具有D个传输模式的少模光纤通信系统，必须保证任意两个模式间均有一个子均衡器，才能从对应模式中提取出相应的耦合分量，此时共需要2D2个子均衡器。
MIMO-FBLMS算法流程如下：对于N阶FBLMS自适应均衡器，模式i的输入信号经2倍符号速率采样后，得到奇次序和偶次序数据，并分为大小为N的数据块。运用重叠保留法后经2N点傅里叶变换得到频域信号。
$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_{i, {\rm{o}}}}(k) = {\rm{FFT}}({\mathit{\boldsymbol{x}}_{i, {\rm{o}}}}(k)){\rm{ }} $
(1) $ {\mathit{\boldsymbol{X}}_{i, {\rm{e}}}}(k) = {\rm{FFT}}({\mathit{\boldsymbol{x}}_{i, {\rm{e}}}}(k)) $
(2) 式中, k表示第k次迭代过程，下标o代表奇次序，e代表偶次序。xi表示输入的时域信号，Xi表示与之对应的频域信号，FFT表示快速傅里叶运算(fast Fourier transform)。对于每个模式对ij，都存在两组均衡器Wij, o, Wij, e分别与奇偶次序数据对应，实现该模式对的解复用。
$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}\left( k \right) = \sum\limits_{j = 1}^D {} {W_{ij, {\rm{o}}}}^{\rm{T}}(k){\mathit{\boldsymbol{X}}_j}\left( k \right) + \\ \sum\limits_{j = 1}^D {} {\mathit{\boldsymbol{W}}_{ij, {\rm{e}}}}^{\rm{T}}(k){\mathit{\boldsymbol{X}}_j}(k) \end{array} $
(3) $ {\mathit{\boldsymbol{y}}_i}(k) = {\rm{IFFT}}({\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}(k)) $
(4) 式中, Wij对应ij模式对的均衡器权系数，上标T表示转置运算，IFFT是逆快速傅里叶运算, Yi是解复用后模式i的频域信号，经过逆傅里叶变换得到其时域信号yi。
$ {\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\left( k \right) = {{\mathit{\boldsymbol{\bar y}}}_i}\left( k \right) - {\mathit{\boldsymbol{y}}_i}(k) $
(5) $ {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}(k) = {\rm{FFT}}{\left[ {0\;\;\;\; \ldots \;\;\;\;0\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}\left( k \right)} \right]^{\rm{T}}} $
(6) $ {\nabla _{ij}}\left( k \right) = {\rm{IFFT}}({\mathit{\boldsymbol{E}}_i}\left( k \right)*{\mathit{\boldsymbol{X}}_j}^*(k)){\rm{ }} $
(7) $ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{W}}_{ij}}(k + 1) = {\mathit{\boldsymbol{W}}_{ij}}\left( k \right) + \\ \mu {\rm{FFT}}{\left[ {{\nabla _{ij}}\left( k \right)\;\;\;\;0\;\;\;\;{\rm{ }} \ldots \;\;\;\;{\rm{ }}0} \right]^{\rm{T}}} \end{array} $
(8) 式中, ${\mathit{\boldsymbol{\bar y}}_i}\left( k \right) $是理想信号，训练阶段时为已知的训练序列，自适应阶段时是均衡后信号的判决结果。通过与解复用后的时域信号yi相减，得到时域信号误差ei，通过傅里叶运算后得到频域信号误差Ei，进而修正均衡器权系数。*代表复共轭，$ {\nabla _{ij}}\left( k \right)$是时域权系数增量，μ是迭代步长，无量纲，用来调整算法的迭代速度。
(6) 式~(8)式是在重叠保留法下，通过信号误差修正均衡器权系数的计算式。随着算法迭代次数增加，信号误差越小，均衡器权系数逐渐接近最优值，即算法收敛。
均衡算法收敛与否，可通过均衡后信号的Q2因子和均方误差MSE判断。Q2因子是信号功率与均方误差之比，Q2因子越大，均衡算法效果越好。当算法稳态收敛时，均方误差和Q2因子基本不变。
当D=2，即用双模光纤传输时，FBLMS均衡算法的系统流程图如图 1所示。
Figure 1. Block diagram of 2×2 MIMO system with FBLMS
对于D×D MIMO均衡器，采用基2分解的傅里叶运算时，时域LMS算法平均计算复杂度为：
$ {C_{{\rm{TDE}}}} = 3D\Delta \tau LR $
(9) 频域FBLMS平均计算复杂度为：
$ {C_{{\rm{FDE}}}} = (4 + 4D){\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}(2\Delta \tau LR) + 8D $
(10) 式中, Δτ为模式间最大模式时延，L为系统传输距离，R为信号传输速率，平均计算复杂度CTDE和CFDE用单个模式单个符号所需的乘法次数表示，无量纲。
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FBLMS算法存在收敛速度和收敛效果无法同时满足的矛盾，使用变步长方法可以克服这个问题。变步长方法的调整原则是：算法初始收敛阶段或信道参量改变时，均方误差较大，则应使用大步长，加快收敛速度和系统追踪速度；算法接近收敛后，权系数接近最佳值，此时均方误差很小，步长也应较小，从而得到小稳态失调:
$ \mu = {\mu _{{\rm{max}}}}\frac{1}{{1 + {{\rm{e}}^{ - \alpha \cdot(\varepsilon - \beta )}}}} $
(11) (11) 式是构造的变步长函数，通过均衡后信号的均方误差来控制步长因子。式中, ε表示均方误差；μmax是常数，控制步长的最大值; α是函数系数，控制曲线形状，α越大，在临界区域步长变化越明显，临界区域也越小; β是平移量，确定临界区域中心位置，临界区域将整个均方误差分为3个部分，大步长区域，小步长区域和临界区域。均方误差大于临界区域时μ较大，算法收敛速度快。在临界区域内，随着均方误差减小，μ随之减小。当均方误差低于临界区域限值时μ很小，保证算法在稳态时有较小的稳态失调。此时μ有一个最小迭代步长，保证算法在稳态时仍有一定追踪能力。每次迭代过程都通过数据块的均方误差来修正权系数，消除了用单个信号误差修正时的偶然性和随机性，确保算法稳定收敛。
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少模光纤通信模式复用系统由数据发送端、少模光纤传输链路、数据接收端和数据处理模块组成。
图 2为少模光纤模式复用的典型结构，包括两模式信号发送端发送机(transmitter，TX)TX1和TX2、模式复用器(mode multiplexer，MUX)、少模光纤(few-mode fiber，FMF)、少模掺铒光纤放大器(few-mode erbium-doped optical fiber amplifier，FM-EDFA)、模式解复用器(mode multiplexer，mode DEMUX)、相干接收机(coherent receiver，coherent RX)、重采样、MIMO-FDE多输入多输出-频域均衡器、载波恢复、符号估计几部分。本文中构建了2×2 MIMO结构的少模光纤模式复用系统，通过LP01和LP11两个低阶模式传输信号。数据发送端使用QPSK调制信号，每个模式信道传输速率为56Gbit/s，经少模光纤传输链路传输后，在数据接收端进行相干检测。
Figure 2. Block diagram of a two-mode fiber transmission system
仿真参量设置如下：发送光信号采用QPSK调制方式，单个模式信道传输速率28Gbaud/s，即56Gbit/s，信号功率为1mW，中心频率为193.1THz。传输链路由多段50km少模光纤及光信号放大器组成。经过光纤系统传输后的信号，采用相干解调，并以2倍符号速率即56Gsample/s的频率采样。信道中混入光信噪比为16dB的高斯白噪声。其中LP01模色散为20.5ps/km/nm，损耗为0.22dB/km; LP02模色散为19.8ps/km/nm，损耗为0.25dB/km; 差分模式时延为65ps/km。每段50km少模光纤内的平均耦合系数为0.01；信号源端输入耦合、探测器端输出耦合及少模光纤与光信号放大器的连接耦合处，平均耦合系数为0.1。
通过仿真结果，验证VS-FBLMS算法能够有效补偿少模光纤通信系统中存在的色散、模式耦合、差分模式迟延，正确恢复发送数据。
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图 3是时域LMS算法和FBLMS算法的计算复杂度与传输距离的关系曲线。由复杂度公式和图 3可以看出，在差分模式时延和码元速率相同的情况下，时域LMS计算复杂度随着传输距离呈线性增长，频域均衡复杂度随着传输距离呈对数增长。远距离传输时，FDE所需的计算复杂度远小于TDE。当L=1000km时，FDE复杂度仅是TDE的1.07%。
Figure 3. Complexity vs. distance
FBLMS算法中，步长因子是控制均衡器权系数收敛速度和稳定性的重要参量。步长因子较小，均衡器的权系数可以稳定地逐步调整，但其收敛速度较慢；随着步长因子增大，权系数收敛的速度逐渐加快；然而步长因子过大，会导致权系数的收敛过程不稳定，甚至会出现迭代过程发散的情况。图 4中给出了均衡效果光纤传输距离为1000km时，均衡效果随步长因子的变化曲线。当步长因子小于0.005时，均衡算法迭代缓慢，均衡器的权系数在训练序列内还未调整至理想状态; 当步长因子在0.005~0.05范围内，均衡器的均衡效果随步长增加缓慢下降，其稳态误差较大; 当迭代步长大于0.05时，均衡算法发散，无法收敛，不能实现信号解复用。
Figure 4. Q2-factor vs. step-size
VS-FBLMS算法采用数据块输出结果的均方误差调节步长因子。实验中采用参量α=105，β=4×10-5。图 5是步长μ随均方误差变化的关系曲线。图中虚线框所表示的区域就是临界区，代表了变步长过程由大步长转为小步长的过度过程。从图中可以看出，当均方误差较大时，μ基本稳定在0.05，随着迭代过程均方误差变小，μ也随之减小，当均方误差很小时，μ基本稳定在一个较小值，保证自适应算法的动态追踪能力。
Figure 5. Variable step-size function
图 6中的3条曲线分别是使用参考文献[12]中的固定步长算法，取μ= 0.05，μ= 0.005，和本文中变步长算法的算法学习曲线。算法学习曲线用均衡后信号均方误差与均衡过程中使用信号码元数目的关系曲线表示。从图中可以看出，大固定步长，算法收敛快，但稳态失调大; 小固定步长，稳态失调小, 但收敛缓慢。VS-FBLMS算法综合了两者的优点，同时拥有高收敛速度和小稳态收敛误差，具有更好的均衡效果。
Figure 6. MSE Curves
VS-FBLMS算法是非盲复原自适应均衡算法，接收数据前需要训练序列帮助均衡器完成初始化。训练序列的长度是影响信道传输效率的一个重要参量，在满足均衡器正常初始化的条件下，训练序列的长度应越小越好。图 7中给出了不同步长情况下，系统解复用效果随训练序列使用的码元数增加的变化曲线。从图 7中可以看出，训练序列长度过短，均衡算法尚未完成初始化，无法达到自适应均衡效果。随着训练序列的信号码元数目不断增加，均衡效果变好。当训练序列足够长时，均衡算法已经完成权系数的初始化，没有必要再增加训练序列。
Figure 7. Q2-factor vs. length of training sequences
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为了解决少模光纤模式复用系统的信号解复用问题、补偿少模光纤传输时的模式耦合和差分模式时延，采用了基于VS-FBLMS自适应算法的MIMO均衡器对信号传输速率为112Gbit/s的2×2模式复用系统进行解复用，成功实现了两路模式信号的数据分离。VS-FBLMS算法解决了FBLMS小步长时算法收敛缓慢、大步长时收敛不佳的问题。结果表明，该算法可以在快速收敛的基础上，减少稳态失调，提高算法的收敛精度，增加3.7dB的Q2因子，有效实现模式解复用。在Stratix Ⅳ芯片上，成功实现针对100km双模光纤模式复用系统的信号解复用电路设计，电路实验均衡效果与仿真实验效果相同，证明算法切实可行，能实际应用。
少模光纤通信系统中的自适应频域均衡算法
Adaptive frequency-domain equalization for few-mode fiber transmission systems
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摘要: 少模光纤模式复用存在模式耦合和差分模式时延，必须通过自适应均衡算法补偿。为了降低长距离少模光纤通信系统中自适应均衡算法的复杂度，采用基于变步长-频域块最小均方算法的多输入多输出均衡器对2×2模分复用系统解复用。利用频域块最小均方自适应算法修正均衡器权系数，并通过变步长函数调整步长因子，兼顾算法收敛速度和收敛性能。算法可通过快速傅里叶变换降低计算复杂度。在112Gbit/s的1000km少模光纤高速通信仿真系统中，保证相同收敛速度情况下，提高信号Q2因子3.7dB，并在可编程现场门阵列上验证了100km少模光纤通信系统时的算法性能。结果表明，该算法能够实现模分复用系统的信号解复用，达到快速收敛、低稳态失调的目的。
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关键词:
- 光通信 /
- 变步长-频域块最小均方算法 /
- 频域均衡 /
- 少模光纤 /
- 模式复用
Abstract: Modal crosstalk and differential mode delay in mode-division multiplexing in few-mode fiber must be compensated for with adaptive equalization algorithm. For the purpose of decreasing complexity of adaptive equalization algorithm in long-haul few-mode fiber communication system, a multiple-input multiple-output equalizer with variable step-size frequency-domain-block least mean square(VS-FBLMS) algorithm was proposed to uncouple a 2×2 mode-division multiplexing system. Compromising the conflicting requirements of convergence speed and convergence performance, FBLMS adaptive algorithm was employed to update equalizer taps and modify step-size factor with variable step-size function. Furthermore, the algorithm decreased the computational complexity by using fast Fourier transform. In a 112Gbit/s high-speed communication simulation system over 1000km in few-mode fiber, signal Q2 factor increased 3.7dB with same convergence speed. The performance of the algorithm was tested on field programmable gate array with a 100km few mode fiber communication system. The study demonstrates that the algorithm successfully uncouples the signals of mode-division multiplexing system and realizes fast convergence and low disorder. -
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