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稳定激光腔输出的激光束属于各种类型的高斯光束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场的强度分布也接近高斯分布[1]。高能激光大都采用非稳腔结构，因此研究高斯光束的特性对激光谐振腔和激光系统的设计和实际使用都具有十分重要的意义。
针对高斯光束，目前的研究主要侧重于其传输特性[1-5]。参考文献[1]中分析了完全相干和非相干平顶高斯光束的传输特性。参考文献[3]中分析了近海面大气湍流中的光斑扩展半径的影响因素。参考文献[4]中分析了扩束系统参量对高斯光束传输特性的影响。参考文献[5]中分析了高斯光束光谱经自由空间和湍流大气传输的特性。另外，参考文献[6]中分析了高斯光束合成的相对峰值强度和光束质量随合成光束的束数与间距的影响。
而在工程实践中，需要了解高斯光束的基本特性。在研究激光与物质相互作用的过程中，更关心激光束的桶中功率、到靶功率密度、亮度等强度特性参量。本文中对上述参量进行了公式推导。并推导了损伤阈值的公式，对实际设计过程中光学口径的要求提出了建议。同时，对教科书与国际标准不一致的概念做了说明，对实际使用容易产生混淆的几个问题进行了分析。
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根据定义，高斯光束是指光束横截面的电场振幅或者光强分布是高斯函数的光束，如图 1所示。图中，w0为光束束腰半径; θ为光束的远场发散角; λ为激光波长; w(z)为电场振幅为轴上幅值的1/e时的半径，
Figure 1. Contour of a Gaussian beam near z=0 in the vicinity of the confocal region b=2zR
称为光斑尺寸; R(z)为与激光传播轴线相交于z点的基模高斯光束等相位面的曲率半径。
高斯光束的电场振幅为：
$ E\left( r \right) = {E_0}\exp \left[{-{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right] $
(1) 式中，r为光束横截面内离光轴的距离; w为电场振幅为轴上幅值的1/e时的半径，称为光斑尺寸，2w称为光斑直径。
那么强度公式为：
$ I\left( r \right) = {I_0}\exp \left( {-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right) $
(2) 高斯光束传输时，每个横截面的强度分布仍然是高斯函数，但是沿着光轴方向强度轮廓的宽度发生变化。在束腰位置宽度最小，直径为2w0，此时的波前为平面波。光斑尺寸沿着光轴变化的规律如下:
$ w\left( z \right) = {w_0}\sqrt {1 + {{\left( {z/{z_{\rm{R}}}} \right)}^2}} $
(3) 式中，z为离束腰的距离; zR称为瑞利长度。
$ {z_{\rm{R}}} = \pi w_0^2/\lambda $
(4) 在瑞利长度处，光斑面积为束腰面积的2倍，即：
$ w\left( {{z_{\rm{R}}}} \right) = \sqrt 2 {w_0} $
(5) 2倍瑞利长度b称为共焦参量(值得注意的是, 国外书籍如参考文献、参考文献中如此定义，国内书籍如参考文献、参考文献中定义与瑞利长度为同一参量)。
$ b = 2{z_{\rm{R}}} = \frac{{2\pi w_0^2}}{\lambda } $
(6) 在离束腰瑞利长度范围内，可以认为光束是准直的。双曲线的渐近线与光轴夹角为θ/2。基模高斯光束的远场发散角θ为：
$ \begin{array}{l} \theta = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{2w\left( z \right)}}{z} = \\ \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{2{w_0}\sqrt {1 + {{\left[{z{{\left( {\frac{{\pi w_0^2}}{\lambda }} \right)}^{-1}}} \right]}^2}} }}{z} = \frac{{2\lambda }}{{\pi {w_0}}} \end{array} $
(7) 即θ=2λ/(πw0)。
说明：国家标准[10]规定发散角是指全角(与ISO标准一致)，参考文献[7]和参考文献[8]符合该规定，国内如参考文献[1]、参考文献[9]、参考文献[11]中指的是半角，所以系数不同，使用中不要产生混淆。
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在半径r范围内的桶中功率为P(r)，那么：
$ \begin{array}{l} P\left( r \right) = \int_0^r {2\pi tI\left( t \right){\rm{d}}t} = \int_0^r {2\pi t{I_0}\exp \left[{-2{{\left( {\frac{t}{w}} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}t} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{\pi }{2}{w^2}{I_0}\int_0^{ - 2{{\left( {\frac{r}{w}} \right)}^2}} {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\pi }{2}{w^2}{I_0}\left\{ {1 - \exp \left[{-2{{\left( {\frac{r}{w}} \right)}^2}} \right]} \right\} \end{array} $
(8) 那么，总功率Pt为：
$ \begin{array}{l} {P_{\rm{t}}} = \mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{\pi }{2}{w^2}{I_0} \times \\ \left\{ {1- \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]} \right\} = \frac{\pi }{2}{w^2}{I_0} \end{array} $
(9) 上式说明，高斯光束的总功率Pt等于束腰处的面积与最大光强的积的一半。
那么，在半径r内的桶中功率与总功率之比为：
$ \begin{array}{l} \frac{{P\left( r \right)}}{{{P_{\rm{t}}}}} = \frac{{\frac{\pi }{2}{w^2}{I_0}\left\{ {1- \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]} \right\}}}{{\frac{\pi }{2}{w^2}{I_0}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \exp \left[{-2{{\left( {\frac{r}{w}} \right)}^2}} \right] \end{array} $
(10) 在实际工程应用中，光学口径不可能无限大。从图 2中桶中功率与总功率比值可以看出，在r/w≥1.5之后，几乎包含了所有的功率，所以在设计光学系统时，其有效口径D≈3w即可。实际使用时，由于体积重量的限制，也有D/w=2.6~3的情况，功率损失为4.4%~1.1%。在功率损失较大时，应充分考虑机械和光学零部件的冷却和热应力对光学质量的影响。
Figure 2. Ratio of power in the bucket to total power
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在r内的功率密度Pd(r)为：
$ \begin{array}{l} {P_{\rm{d}}}\left( r \right) = \frac{{P\left( r \right)}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{\frac{\pi }{2}{w^2}{I_0}\left\{ {1- \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]} \right\}}}{{\pi {r^2}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{I_0}}}{2}\frac{{1 - \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {r/w} \right)}^2}}} \end{array} $
(11) 尽管在w内的功率为总功率的86.5%，此处定义“平均功率密度$\overline {{P_{\rm{d}}}} $”为总功率与束腰面积之比，以下会得出巧妙的结论。
$ \overline {{P_{\rm{d}}}} = \frac{{{P_{\rm{t}}}}}{{\pi {w^2}}} = \frac{{\frac{\pi }{2}{w^2}{I_0}}}{{\pi {w^2}}} = \frac{{{I_0}}}{2} $
(12) 在r内的功率密度与平均功率密度的比值为：
$ \begin{array}{l} \frac{{{P_{\rm{d}}}\left( r \right)}}{{\overline {{P_{\rm{d}}}} }} = \frac{{\frac{{{I_0}}}{2}\frac{{1- \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {r/w} \right)}^2}}}}}{{{I_0}/2}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{1 - \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {r/w} \right)}^2}}} \end{array} $
(13) 图 3为r内功率密度与平均功率密度比值示意图。
Figure 3. Ratio of power density to average power density
$ \mathop {\lim }\limits_{\left( {r/w} \right) \to 0} \frac{{{P_{\rm{d}}}\left( r \right)}}{{\overline {{P_{\rm{d}}}} }} = \frac{{1- \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {r/w} \right)}^2}}} = 2 $
(14) 也就是说，在轴上点的功率密度最强，恰好是${\overline {{P_{\rm{d}}}} }$的2倍，这对于设计光学系统时计算光学零件的损伤阈值是很有价值的。另外，对光学零件损伤阈值的验收也十分有用。比如美国就是按照这个条件进行光学零件激光损伤阈值的合格检验的[12]。
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由于不同标准或者不同使用条件下，r内含功率条件定义的发散角不同，下面对电场振幅、光强、桶中功率比等参量的比较公式进行推导，并列出几种特殊条件下的具体计算结果。
发散角比较：
$ \frac{{E\left( r \right)}}{{{E_0}}} = \exp \left[{-{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right] $
(15) 所以，对于r1和r2有：
$ \sqrt {\ln \left[{\frac{{E\left( {{r_1}} \right)}}{{{E_0}}}} \right]/\ln \left[{\frac{{E\left( {{r_2}} \right)}}{{{E_0}}}} \right]} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{{\theta _1}}}{{{\theta _2}}} $
(16) 幅值比较：
$ \frac{{E\left( {{r_1}} \right)}}{{E\left( {{r_2}} \right)}} = \exp \left[{{{\left( {{r_2}/w} \right)}^2}-{{\left( {{r_1}/w} \right)}^2}} \right] $
(17) 强度比较：
$ \frac{{I\left( r \right)}}{{{I_0}}} = \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right] $
(18) 那么，对于r1与r2则有:
$ \frac{{I\left( {{r_1}} \right)}}{{I\left( {{r_2}} \right)}} = \exp \left\{ {2\left[{{{\left( {{r_2}/w} \right)}^2}-{{\left( {{r_1}/w} \right)}^2}} \right]} \right\} $
(19) 桶中功率比较：
$ \frac{{P\left( r \right)}}{{{P_{\rm{t}}}}} = 1- \exp \left[{-2{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right] $
(20) 则：
$ \frac{{P\left( {{r_1}} \right)}}{{P\left( {{r_2}} \right)}} = \frac{{1- \exp \left[{-2{{\left( {{r_1}/w} \right)}^2}} \right]}}{{1 - \exp \left[{-2{{\left( {{r_2}/w} \right)}^2}} \right]}} $
(21) 振幅为最大振幅的0.5和1/e时的发散角是工程实践中最常见的两种情况。分别以下标0.5, e和r0.5表示Er/E0分别为0.5, e－1, e－0.52，即r/w为$\sqrt {\ln 2} $, 1, 0.5的情况，根据以上推导公式计算的结果示于表 1中，方便工程应用中相互转换。
Table 1. Comparison of parameters
parameter r/w Er/E0 Ir/I0 P(r)/Pt r0.5 0.5 77.88% 60.65% 39.35% 0.5 $\sqrt {\ln 2} $=0.833 50.00% 25.00% 75.00% e 1 1/e=36.79% 1/e2=13.53% 86.47% X0.5/Xe 0.833 1.359 1.847 0.867 Xe/X0.5 1.201 0.736 0.541 1.153 Xr0.5/Xe 0.5 2.117 4.482 0.455 Xe/Xr0.5 2 0.472 0.223 2.198 X0.5/Xr0.5 1.665 0.642 0.412 1.906 Xr0.5/X0.5 0.601 1.558 2.426 0.525 表 1中, “Xyy”，X代表r/w, Er/E0, Ir/I0, P(r)/Pt相应的参量，下标yy代表r/w为$\sqrt {\ln 2} $, 1, 0.5的情况; 发散角θ与r/w成正比，所以表中θ的比值和r/w的比值相同; 特别注意不要把$\frac{{{E_r}}}{{{E_0}}} = 0.5$和r/w=0.5的情形混淆。
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工程实践中，电场振幅为最大振幅的0.5和1/e时的发散角(指全角，见参考文献)θ0.5, θe和光束参量积(beam parameter product, BPP)pBPP是常用的几个光束质量的定义，计算功率密度和亮度时常需要相互转换，这里特别说明一下相互关系，方便使用。
根据定义:
$ \left\{ \begin{array}{l} {p_{{\rm{BPP}}}} = {w_0}{\theta _0}\\ {p_{{\rm{BPP}}}} = \frac{{{d_{\rm{e}}}}}{2}\frac{{{\theta _{\rm{e}}}}}{2} = \frac{{{d_{\rm{e}}}{\theta _{\rm{e}}}}}{4} \end{array} \right. $
(22) $ {\theta _{\rm{e}}} = \frac{{4{p_{{\rm{BPP}}}}}}{{{d_{\rm{e}}}}} $
(23) 式中, de是电场振幅为最大值时的1/e对应的直径。
根据(16)式可得:
$ \frac{{{\theta _{0.5}}}}{{{\theta _{\rm{e}}}}} = \sqrt {\ln 0.5/\ln {{\rm{e}}^{-1}}} = \sqrt {\ln 2} $
(24) $ {\theta _{0.5}} = 4\sqrt {\ln 2} \frac{{{p_{{\rm{BPP}}}}}}{{{d_{\rm{e}}}}} = 3.33\frac{{{p_{{\rm{BPP}}}}}}{{{d_{\rm{e}}}}} $
(25) -
在技术交流过程中，发现有如下推导：
$ {\theta _{0.5}} = \sqrt {2\ln 2} {\theta _0} = 1.18\frac{{{\theta _{\rm{e}}}}}{2} = 2.36\frac{{{p_{{\rm{BPP}}}}}}{{{d_{\rm{e}}}}} $
(26) 这其实是错误的，错误的本质在于采用了不同的表达式，概念产生了混淆。分析如下：
(1) 如果按标准正态分布公式E(r)/E0=exp[-(rw-1)2/2]计算，尽管当幅值比为0.5时，$r/{w_0} = \sqrt {2\ln 2} $; 但是当幅值比为1/e时，${r_{\rm{e}}}/{w_0} = \sqrt 2 $，而不再是高斯光束定义的等于1，它们之间的比值仍然为$\sqrt {\ln 2} $，而不是$\sqrt {2\ln 2} $。
(2) 如果按高斯分布公式E(r)/E0=exp[-(r/w)2]计算，尽管当幅值比为1/e时，re/w0=1，符合高斯光束定义的要求; 但是当幅值比为0.5时，$r/{w_0} = \sqrt {\ln 2} $，而不再是按照E(r)/E0=exp[-(r/w)2/2]正态分布推导的$r/{w_0} = \sqrt {2\ln 2} $。实际上它们之间的比值仍然为$\sqrt {\ln 2} $，而不是$\sqrt {2\ln 2} $。
另外，如果按标准正态分布公式E(r)/E0=exp[-(r/w)2/2]推算, 在半径r内的桶中功率等于：
$ P\left( r \right) = \pi {w^2}{I_0}\left[{1-\exp \left( {-{{\left( {r/w} \right)}^2}} \right)} \right] $
(27) 当r→∞时，P(r)max=Pt=πw2I0，也就是说总功率等于束腰处的面积乘以最大光强。从此处看出其物理意义不准确，因此不适合采用E(r)/E0=exp[-(r/w)2/2]作为高斯光束的表达式，而应采用E(r)/E0=exp[-(r/w)2]表达式。
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理想高斯光束的发散角：
$ {\theta _{{\rm{Gauss}}}} = \frac{{4\lambda }}{{\pi D}} $
(28) 若光束质量为β，那么：
$ {\theta _{{\rm{real}}}} = \frac{{4\lambda }}{{\pi D}} \times \beta $
(29) 对于距离为R处的目标上光斑直径为：
$ \varPhi = R\theta = \frac{4}{\pi }\frac{{\beta \lambda R}}{D} $
(30) 目标上的功率密度为：
$ {P_{\rm{d}}} = \frac{P}{{\pi {{\left( {\frac{\varPhi }{2}} \right)}^2}}} = \frac{P}{{\pi {{\left( {\frac{{4\beta \lambda R}}{{2\pi D}}} \right)}^2}}} = \frac{\pi }{4}P{\left( {\frac{D}{{\lambda \beta R}}} \right)^2} $
(31) 亮度B为单位立体角内的功率，立体角$\varOmega \approx \pi \theta _0^2 = \frac{{\pi {\theta ^2}}}{4}$。
$ B = \frac{P}{\varOmega } = \frac{P}{{\frac{\pi }{4}{{\left( {\frac{{4\beta \lambda }}{{\pi D}}} \right)}^2}}} = \frac{\pi }{4}P{\left( {\frac{D}{{\lambda \beta }}} \right)^2} $
(32) -
从以上亮度和到靶功率密度的公式推导可以看出：
$ B = {P_{\rm{d}}}{R^2} $
(33) -
$ \varOmega = \pi {\sin ^2}\left( {\frac{\theta }{2}} \right) $
(34) 发散角一般很小，为mrad量级，所以：
$ \varOmega = \pi {\sin ^2}\left( {\frac{\theta }{2}} \right) \approx \frac{\pi }{4}{\theta ^2} $
(35) 注意：个别文献中有Ω≈πθ2，指的是发散角的半角，而不是发散角。
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光束在目标上的横截面积A为：
$ A = \pi {\left( {\frac{{R\theta }}{2}} \right)^2} = \frac{\pi }{4}{R^2}{\theta ^2} $
(36) 因为：
$ \varOmega = \pi {\sin ^2}\left( {\frac{\theta }{2}} \right) \approx \frac{\pi }{4}{\theta ^2} $
(37) 所以：
$ A = \pi {\left( {\frac{{R\theta }}{2}} \right)^2} = \frac{\pi }{4}{R^2}{\theta ^2} \approx \varOmega {R^2} $
(38) -
实际应用中需要考虑大气衰减，所有到靶功率密度和亮度计算中应该乘以大气衰减系数。
本文中对各种公式进行详细推导的目的是为了说明正确性，有的参考文献中系数是不相同的、混淆的，甚至是错误的。
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介绍高斯光束的基本性质，然后对高斯光束的桶中功率、到靶功率密度、亮度进行了推导，对几种特殊情况的归一化参量进行了计算和对比，最后对实际使用容易产生混淆的几个问题进行了分析，有利于实际工程实践中对激光系统的分析和设计。
高斯光束特性分析及其应用
Analysis of characteristics of Gaussian beam and its application
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摘要: 为了在实际应用过程中更好地理解和应用高斯光束的特性，采用理论计算公式推导了桶中功率、到靶功率密度、亮度的公式，对几种特殊情况的归一化参量进行了计算和对比，并对实际使用中容易产生混淆的问题进行了分析。结果表明，该研究对于激光系统的设计和使用具有一定的参考价值。Abstract: In order to better understand the characteristics and to extend the applications of Gaussian beams, based on the basic characteristics of Gaussian beam, the expressions for power in bucket, power density on the target and brightness were deduced. The normalized parameters were calculated and compared for some specific conditions. Various questions intending to be mixed in actual applications were analyzed. The analytical results are helpful for the design and applications of laser systems.
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Key words:
- laser physics /
- Gaussian beam /
- power in bucket /
- power density on the target /
- brightness
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Figure 1. Contour of a Gaussian beam near z=0 in the vicinity of the confocal region b=2zR
Table 1. Comparison of parameters
parameter r/w Er/E0 Ir/I0 P(r)/Pt r0.5 0.5 77.88% 60.65% 39.35% 0.5 $\sqrt {\ln 2} $=0.833 50.00% 25.00% 75.00% e 1 1/e=36.79% 1/e2=13.53% 86.47% X0.5/Xe 0.833 1.359 1.847 0.867 Xe/X0.5 1.201 0.736 0.541 1.153 Xr0.5/Xe 0.5 2.117 4.482 0.455 Xe/Xr0.5 2 0.472 0.223 2.198 X0.5/Xr0.5 1.665 0.642 0.412 1.906 Xr0.5/X0.5 0.601 1.558 2.426 0.525 
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图(3) / 表(1)
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