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在诸如量子通信系统[1]、激光测距[2]、超快光谱学[3]等领域中，利用光子数可分辨的单光子探测器实现对单个或者多个光子的精确识别是其不可缺少的核心技术之一。目前，主流的超导单光子探测器有以下几种：超导纳米线单光子探测器(superconducting nanowire single photon detector, SNSPD)[4-5]、超导转边缘探测器(transition edge sensor, TES)[6-7]以及微波动态电感探测器(microwave kinetic inductance detector, MKID)[8]等，它们都能实现光子数分辨，从而可应用于实现光场量子态非高斯操作[9]和对单脉冲光子数进行识别。其中，MKID因其单元器件本身就具有的光子数分辨、且结构相对简单、易于实现大阵列集成，而受到关注[10]。
鉴于商用理想单光子源产品的缺乏，通常用作单光子探测器测试光的一般都是相干光经线性衰减而得到的贋单光子源，其单脉冲的光子数分布仍是泊松分布。本文中介绍了平均光子数很少的相干脉冲光探测的概率性光子计数特性，并用具有光子数可分辨能力的超导动态电感单光子探测器对多个弱脉冲光的响应数据进行了处理，得到供匹配的模板。基于这个大量探测数据所建立的模板，发展单脉冲信号对模板进行匹配，进而标定光子数的两种方法：平均区间取值法(average interval selected method, AISM)和迭代法，由此实现弱相干光脉冲光子数泊松分布的实时识别。
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在MKID对未知光脉冲进行光子数检测的过程中，由于商用理想单光子源产品的缺乏，采用的测试单光子源是激光输出的相干光经强线性衰减而得到的贋单光子源。因此，测试光源虽然已经很弱(平均光子数仅为数个光子)，但其光子数仍服从泊松分布。
假定在很短时间dt内，探测到单个光子的概率是：
$\Delta P(t)=\alpha I(t) \mathrm{d} t $
(1) 式中，α是探测器的灵敏度，它取决于探测面积和入射光的光谱范围; I(t)是在某一时间光的辐射强度。显然，在这个很短时间内，即Δt→0时，没有光子被探测到的概率是：1-ΔP(t)。所以，探测不到光子的概率可以等效为P0(t)=1-ΔP(t), 等价于exp[-ΔP(t)]。
假设在不同时间间隔内光子计数事件是独立的，那么在时间间隔t0~t0+T内不发生光子计数的联合概率可以表示为：
$ \begin{aligned} &\prod\limits_{t_{0}}^{t_{0}+T}[1-\Delta P(t)] \approx \prod\limits_{t_{0}}^{t_{0}+T} \exp [-\Delta P(t)]= \\ &\exp \left[-\sum\limits_{t_{0}}^{t_{0}+T} \Delta P(t)\right]=\exp \left[-\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \mathrm{~d} P(t)\right] \end{aligned} $
(2) 则在t0~t0+T内发生0个光子计数的概率为：
$ P_{0}=\exp \left[-\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \alpha I(t) \mathrm{d} t\right] $
(3) 对应地，在t0~t0+T内得到1个光子计数的概率为：
$ P_{1}=\left[\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right] \exp \left[-\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right] $
(4) 同样, 得到2个光子计数的概率可以表示为：
$ P_{2}=\frac{\left[\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right]}{2}\left[\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right] \cdot\\ \exp \left[-\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right] $
(5) 由此可以推导出在t0~t0+T内发生n个光子计数的概率为：
$ P_{n}=\frac{\left[\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right]^{n}}{n !} \exp \left[-\alpha \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} I(t) \mathrm{d} t\right] $
(6) 所以对于恒定辐射强度的光(相干光)，(6)式可以表示为：
$ P_{n}=\frac{\langle\bar{n}\rangle^{n}}{n !} \exp [-\langle\bar{n}\rangle] $
(7) 式中, $\langle\bar{n}\rangle=\alpha I T $, 代表光脉冲的平均光子数。一段时间内探测器所测到的恒定光强脉冲光的光子数符合(7)式，这正是一种泊松分布[11]。
图 1是实验中所用的弱相干光脉冲响应测量系统示意图。主要包括信号产生器、810nm/1550nm激光光源、探测器样品盒、同相正交(in-phase quadrature, IQ)混频器、以及模数(analog/digital, A/D)转换器等。这里，微波发射源发出的微波信号被功分器分为两路：一路进入最低稳定温度为10mK~20mK的低温腔，通过衰减器衰减输入作为探测信号，实现探测光脉冲到MKID的吸收探测; 另外一路作为参考信号，直接进入IQ混频器，实现与探测信号的混频。两路信号经过IQ混频器、低通滤波器、和放大器后用数据采集卡进行A/D转换。探测的弱相干激光脉冲改变了探测器的电感，从而影响扫频微波信号的传输特性，并在数据采集卡中进行记录。然后，将采集卡上存储的数据进行分析处理。图中, L0表示微波的另一路信号，直接进入IQ混频器。
Figure 1. Schematic diagram of the experimental experimental system
数据处理过程中，假定信号噪声是白噪声，因此, 可以使用基于数值平均的最优滤波算法[12]，对信号取平均得到信号的幅值估计[13]：
$ A^{\prime}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} f \cdot V(f) \cdot \tilde{S}^{*}(f)}{\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} f \cdot|\tilde{S}(f)|^{2}} $
(8) 式中，A′是单次脉冲和模板匹配的最优幅值倍数，V(f)代表单次脉冲幅值函数的傅里叶变换，$ {\tilde S(f)}$是模板函数的傅里叶变换, *表示针对$ \tilde S$的傅里叶变换。脉冲光中光子数信号强度是通过统计所有脉冲的最优幅值倍数A的分布来表征的。所以，光子数强度估计值就可以通过统计A的分布情况来得到。图 2中给出了作者对20000次弱相干脉冲光进行探测所得到的光子数幅值统计分布。图中，横坐标表示一个相对数值，无单位, 蓝色手指峰部分为多次脉冲光子数幅值统计分辨，红色曲线为对每个光子数信号进行高斯拟合的分布图。需要说明的是，由于取高斯分布的精度限制，拟合光子数脉冲模板与实际对应的光子数脉冲并不一致，因此各光子数峰的峰值与下标光子脉冲高度并非完全一致。取数据拟合的高斯分布面积分布图(蓝色直方图)来进行重新标定，就可以得到20000个弱相干脉冲光平均的光子数分布图(黄色直方图)。可以看到，实测的多个弱光脉冲中的光子数分布与理论预计的标准泊松分布基本一致。这说明，照射到MKID探测器芯片上的光脉冲确实是弱相干光脉冲信号。由以上的泊松分布，可以推算测试的激光脉冲平均光子数为μ=1.55。
Figure 2. Statistical distribution image of photon number amplitude of 20000 weak coherent light pulse detection data using white noise model
具备对弱相干脉冲光的光子数分布进行分辨探测的单光子探测器，就称为光子数可分辨的单光子探测器，其重要的一个性能指标是光子能量分辨率。由于探测器存在光子响应信号的噪声，所以每个光子数峰都不会是严格的δ函数而是近似的高斯峰。因而，可以将每个光子数响应信号峰的半峰全宽来定义该信号峰的能量分辨率[14]。表 1中给出了标定的各光子数峰的半峰全宽ΔE。
表 1 Peak half-width value of each photon measured by the detector after the optical attenuation of 17dB
ΔE0/eV ΔE1/eV ΔE2/eV ΔE3/eV ΔE4/eV ΔE5/eV 0.1489 0.2992 0.3772 0.4382 0.4448 0.5113 测试光是波长为1550nm的相干光，其单光子能量为hν=0.8eV，所以从图中可以看出，该探测器可实现从0~5个光子的光子数分辨探测：这6个光子数峰的半峰全宽到小于单个光子的能量。如果信号光的平均光子数很大，分辨更多的光子数也是可能的。
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基于微波动态电感探测器的光子数可分辨探测特性[15]，可以将其应用于对单个弱光脉冲甚至是严格单光子脉冲的光子数进行识别。理论上，如果输入零光子数脉冲，那么探测器的响应信号就是半峰全宽为0.1489eV的零光子峰信号; 如果是严格的1550nm单光子信号，那么探测器输出的信号就只有半峰全宽为0.2992eV的单光子峰信号。当然，如果输入光是光子数为2的光子数态，那么探测器响应信号就是半峰全宽为0.3772eV的双光子峰信号。更高光子数态的检测也可同理得到。所以，光子数可分辨的单光子探测器可以用于实现对光子数态的检测。
以上述多次弱光脉冲探测信号的滤波处理所获得的光子数峰泊松分布作为模板库，下面讨论如何实现未知单脉冲的光子数分布及脉冲平均光子数标定。核心思想就是将处理后的未知单脉冲探测信号和脉冲模板库进行匹配，通过该脉冲信号的最优幅值倍数分布与模板的匹配情况来标定该脉冲的光子数分布，从而实现未知单脉冲的光子数检测。最后，针对该光脉冲的相干特性，进行光子数分布的泊松特性验证。
整个实验流程图如图 3所示。其中上半部分是对多次弱相干光脉冲探测，建立信号模板的过程; 下半部分是获得单个弱相干光探测信号，通过与模板进行匹配实现该脉冲光子数检测。
Figure 3. Unknown pulse detection process by photon-resolvable detector
一般来讲，建立模板时应该针对完全相同的光脉冲事件来进行。特别是如果具有严格的单光子源或严格的数态光源，那么所建立的模板就是最理想的。但实际上，由于实验上没有现成的严格单光子源或严格的数态光源可以使用，所以在建立模板的过程中仍然使用相干激光经强线性衰减后的准单光子源来进行实验。图 4a为对大量光脉冲探测后所获得的脉冲分层结果, 是20000次弱相干光脉冲测试所得到的脉冲信号强度分层模板库(彩色细线部分)。图中，红色粗线为未知单脉冲信号的幅值分层图。纵坐标表示脉冲平均光子数, 比如，脉冲幅值为1，3，5即表示该脉冲光子数分别是1，3，5等。当单脉冲探测信号的幅值与脉冲分层的某个脉冲信号匹配时，就得到该脉冲的光子数。这样，通过未知单脉冲和模板库脉冲分层信号的一一比对[16]，就可以标定出该单脉冲所在的模板库的位置，从而实现该脉冲光子数的标定。
Figure 4. a—pulse layered graph b—statistical distribution diagram of single pulse optimal amplitude multiples
图 4b是模板库中所有脉冲的最优幅值倍数(蓝色手指峰图)。红点为要测试的单脉冲所处的位置。在理想情况下，脉冲模板库中相同光子数的光脉冲高度(即图 4a中的纵坐标)应该一致，并且不同光子数的光脉冲高度应该成等差增长，零光子事件的光脉冲高度应该为零，即探测器对于暗记数不应该有脉冲输出，但实际上不可避免。此外，理想情况下各光子数的光子峰信号响应应该为严格δ函数[17]，并且光子峰之间的间隔应该一致，零光子峰顶点应该对准零刻度。但在实际情况下，由于探测器不可避免的噪声影响，使得即使相同的光子数峰脉冲高度也出现差别，每一个光子数峰也都会出现展宽现象。尤其是对多光子数光脉冲，所得到的信号对应于较高能量的响应，脉冲幅值较大，因而能量分辨率相对较低; 相对而言，少光子事件对应于较低的脉冲幅值，暗记数影响较大。
就图 4a中的未知脉冲情况，可以看到它的响应在模板库的脉冲分层图中是处于第3层接近双光子脉冲; 在图 4b中，未知脉冲的位置也比较接近第二光子峰的顶点位置，因此可以大致估计此未知单脉冲的光子数为2左右。但这只是大致的估计，具体数字尚需标定，下面介绍作者采用的标定方法。
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平均区间取值法是一种比较简单的光子数标定方法[18]，该方法对探测器能量分辨率要求较高。可知在1550nm波段单个光子能量为0.8eV[19]，多光子的能量将成倍数增加，所以对于光子峰图来说，可以认为峰与峰之间的间隔是均匀的。当未知单脉冲最优幅值倍数处于各个光子峰之间的时候，可以结合其最接近的两个峰值，根据未知脉冲在两峰之间的距离占比来推算出其真正所含的光子数。
图 5中，红点是未知单脉冲所处的位置，手指峰图样是经过高斯拟合后的光子峰。作者标出了每一个光子数峰的值，可以看到, 未知脉冲处于第一光子峰和第二光子峰之间。根据平均区间取值法的思想，用矩阵软件进行标定得到未知脉冲的光子数为：(2-1)+μ/τ=1.98。其中, τ为两光子间横轴的距离。考虑到光子数目应为整数，由此推断此次未知单脉冲的光子数[20]为2的概率达到98%，而光子数为1的概率为仅为2%。图中小尖尖表示统计过程中出现的统计特性。
Figure 5. Calibration of single pulse photon number based on average interval selection method
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上面介绍的平均区间取值法是一种比较理想的方法，因为在实际的探测的过程中，受到探测器器件本身的影响，光子峰的间隔一般不会很均匀[21]; 并且，在多光子事件的探测中，器件本身的能量分辨不够或者系统的噪声也会造成一定误差[22]，由此导致该光子峰的展宽较大。作者仿真了这些因素对光子峰图样带来的影响，如图 6所示。
Figure 6. a—photon peak becomes thicker as the number of photons increases b—distance between photon peaks with the increases of the number of photons
图 6a形成的原因是探测器对多光子事件的分辨能力下降，并且由于激光衰减光源中多光子事件发生概率变小[23]，故而其信噪比相对也较小，所以导致光子峰淹没在噪声中[24]; 图 6b则来自于大多探测器件本身性能对探测信号输出的影响。针对这些问题，作者探索了一种新的标定方法，即迭代法[25]，来对未知脉冲进行光子数标定。
该方法的主要步骤包括：(1)通过平均区间取值法得到未知单脉冲光子数，作为迭代的初值λ0; (2)确定光子峰图样中，能量可分辨的光子峰数量，记为n; (3)把初值当作泊松分布均值代入，求第0个光子峰~第n个光子峰的概率均值; (4)将新得到的概率均值继续作为初值，继续迭代，直到数值收敛到能接受的误差范围内。根据以上步骤对预估光子数为0的未知脉冲数据进行不停地的迭代，得到收敛图，如图 7所示。
Figure 7. Convergence characteristics of photon value in iterative method
由图可知，脉冲光子数达到收敛值1.81。由此可以推断，此次未知单脉冲光子数为2的概率为81%，为1的概率则为19%，这与第2.1节中通过平均区间取值法所得到的1.98平均光子数虽有所差别，但光子数为2都是大概率事件。
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理论上，对每个脉冲的光子数进行标定后，同样方法应用于多次未知单脉冲的光子数分布标定应该能够还原出光源的泊松分布特性。如图 8所示，使用平均区间取值法对2000次未知的脉冲光子数进行重新标定所得到的统计分布特性，确实满足泊松分布。该分布的均值即为光源的平均光子数μ=1.59，这与第1节中通过模板库信号直接计算得到的平均光子数μ=1.55，仅有2.6%的误差。这说明，所得到的未知单脉冲信号光子数检测数据基本合理。
Figure 8. Poisson verification
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基于极低温环境下的光子数可分辨探测器——微波动态电感探测器在不同光子事件下脉冲响应的差异性，探索了未知单脉冲光子数的识别方法。基于多脉冲实验所建立的模板库，采用了两种方案来实现未知单脉冲与脉冲模板库的匹配识别。其中，平均区间取值法是一种对探测器性能准确度要求较高的方法，其标定光子数的过程较为简单; 而迭代法相对复杂，需要根据光子峰的具体特性具体分析。最后，以平均区间取值法进行了泊松验证，证明了该单脉冲光子数标定方法是合理的。
需要说明的是，以上工作都是使用并不严格的单光子源或光子数态源来进行单脉冲光子数标定的。因而所建立的光子数信号模板库实际上也不是理想的，因此, 通过与该模板库进行匹配来实现单脉冲光子数的检测事实上也就存在先天的不足。未来的工作需要开发严格的单光子源或光子数态源来建立更为精确的模板库，由此才能实现更为准确的未知光脉冲的光子数测定。
基于光子数可分辨探测器的单脉冲光子数检测
Single pulse photon number detection based on photon number distinguishable detector
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摘要: 为了对未知脉冲所含的光子数进行标定，针对不同光子数的光脉冲在超导环境下，微波动态电感探测器(MKID)作用时，测量系统输出的信号差异性，采用平均区间取值法和迭代法分别进行标定，并进行了理论分析和实验验证。结果表明，MKID能够在低温测量系统中对未知1550nm单脉冲光的光子数进行识别; 经过数据处理后得到平均光子数分别为1.98和1.81;其中平均区间取值法标定光子数过程较为简单，迭代法有待继续探索。这一结果对单脉冲光子数检测是有帮助的。
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关键词:
- 量子光学 /
- 光子数可分辨探测器 /
- 微波动态电感单光子探测器 /
- 光子数标定 /
- 超导低温测量系统
Abstract: In order to calibrate the number of photons contained in the unknown pulse, the signal difference of the system output was measured when the light pulses with different photon numbers were under microwave kinetic inductance detector (MKID) effect in the superconducting environment. The average interval method and iterative method were adopted, and the theoretical analysis and experimental verification were carried out. The results show that, the number of photons of unknown 1550nm single-pulse light in the cryogenic measurement system can be identified by MKID. After data processing, the average photon numbers were 1.98 and 1.81 respectively. Among them, the process of calibrating the number of photons by the average interval method is relatively simple, and the iterative method needs to be further explored. It is helpful for single-pulse photon number detection. -
Figure 2. Statistical distribution image of photon number amplitude of 20000 weak coherent light pulse detection data using white noise model
Figure 4. a—pulse layered graph b—statistical distribution diagram of single pulse optimal amplitude multiples
Figure 5. Calibration of single pulse photon number based on average interval selection method
Figure 6. a—photon peak becomes thicker as the number of photons increases b—distance between photon peaks with the increases of the number of photons
表 1 Peak half-width value of each photon measured by the detector after the optical attenuation of 17dB
ΔE0/eV ΔE1/eV ΔE2/eV ΔE3/eV ΔE4/eV ΔE5/eV 0.1489 0.2992 0.3772 0.4382 0.4448 0.5113 
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图(8) / 表(1)
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