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1987年，YABLONOVICH和JOHN在不同的研究方向上几乎同时提出了光子晶体概念[1-2]。设定周期，将多种折射率不同的介质材料，在空间作周期性的排列，即可形成光子晶体。迄今为止，虽然在自然界也有发现，但多数情况下这种“晶体”还是人造的。利用这种人工制造的光子晶体可以对光子进行合理地有机调控，因而使光子技术领域有了新的研究内容和发展方向，在光电子技术、光通讯技术领域产生了新的活力。与光纤结合的光子晶体光纤更具优异的性能[3-6]。光子取代电子进行快速传输、处理和存储信息的愿景更有可能实现[7-8]。另外，光子晶体在光学Tamm态[9]等其它领域的交叉研究也获得了许多有参考价值的成果[10-14]。
位相延迟多见于椭圆偏振光的研究中[15]。频率相同、传播方向相同、初位相不同、光场矢量互相垂直的两束初始线偏振光叠加，合成光波一般是椭圆偏振光。若它们的光场幅值相同，合成光波则为圆偏振光。其中，一束光的位相比另一束的位相小，称为位相延迟。位相延迟是一个相对而言的概念。
通过外因引入位相延迟可以改变光的偏振态，可以使之由线偏振光变为椭圆(圆)偏振光[15-18]。反之亦可。波片是常见的引入位相延迟的器件，它是一定厚度的光学晶体薄片。当一束线偏振光垂直于波片表面入射后，在波片内产生寻常光(o光)和异常光(e光)等新偏振光，由于波片对o光和e光的折射率不同，通过波片后的o光和e光的位相产生变化，从而实现位相延迟。这时出射光的偏振态一般就会变化，可能由线偏振光变为椭圆(圆)偏振光。λ/4波片是典型的波片，它可产生90°的位相延迟。
当一束线偏振光由光密媒质入射于光疏媒质时，在入射角大于临界角的情况下，会在界面发生全反射，同时也改变了光的偏振态。由线偏振的入射光变为椭圆(圆)偏振的反射光，其原因就是在此过程产生了位相延迟。若入射角小于临界角，则在界面不会发生全反射。这时可以通过表面处理，使之也产生高反射和位相延迟，进而改变反射光的偏振态。在表面制作1维光子晶体就是一种可选择的办法。
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光以入射角θ0从折射率为n0的光学介质入射于折射率为n1的光学介质，在界面上产生反射和折射，反射角与折射角分别为θ0和θ1，则反射系数r与折射率n、θ0和θ1的关系由菲涅耳反射公式：
$ {r_k} = \frac{{{\eta _{0, k}} - {\eta _{1, k}}}}{{{\eta _{0, k}} + {\eta _{1, k}}}} $
(1) 式中，下标k=p、s，表示p和s的分量光；η为等效折射率，对于p分量光，ηj=nj/cosθj(j=0, 1)；对于s分量光，ηj=njcosθj(j=0, 1)。当n0>n1，当θ0>θc(θc为临界角)时，θ1不再是实数角，其余弦值是虚数：
$ \cos {\theta _1} = {\rm{i}}\sqrt {\frac{{n_0^2}}{{n_1^2}}{{\sin }^2}{\theta _0} - 1} = {\rm{i}}\mathit{\Gamma } $
(2) 式中，设$\mathit{\Gamma } = \sqrt {\frac{{{n_0}^2}}{{{n_1}^2}}{{\sin }^2}{\theta _0} - 1} $。
代入(1)式得：
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{r_s} = \frac{{{n_0}\cos {\theta _0} - {\rm{i}}{n_1}\mathit{\Gamma }}}{{{n_0}\cos {\theta _0} + {\rm{i}}{n_1}\mathit{\Gamma }}}}\\ {{r_p} = \frac{{{n_0}/\cos {\theta _0} + {\rm{i}}{n_1}/\mathit{\Gamma }}}{{{n_0}/\cos {\theta _0} - {\rm{i}}{n_1}/\mathit{\Gamma }}}} \end{array}} \right. $
(3) 式中，反射系数rk(k=p、s)是复数，其模值丨rk丨=1，因而出现全反射, 而复数rk的幅角就是光经历全反射后的位相改变。p光、s光的位相改变不同，其差值即为位相延迟。这说明对于光场矢量不垂直(平行)于入射面的入射线偏振光，经历全反射后，反射光可变成椭圆偏振光或圆偏振光。
比较(1)式、(3)式可知，在全反射发生的情形下，介质1的等效折射率是纯虚值，即η1, s=in1Γ，η1, p=-in1/Γ。正是这个原因，全反射才出现，同时各分量光产生位相改变，因而有位相延迟，反射光的偏振态一般而言会变为椭圆或圆偏振光。相反地，当θ0 < θc时，θ1依然是实数角，介质1的等效折射率还是实数值，全反射不会发生，位相改变及位相延迟不会出现，反射光的偏振态也不会改变，依旧是线偏振光，只是其偏振方向相对入射光的偏振方向而言有一定的偏转。
如果在界面上镀制周期分布的多层膜，形成1维光子晶体，根据作者的研究表明[19]，在带隙范围内，这种1维光子晶体的等效折射率也是纯虚值，而在带隙范围内光被高反射，其程度接近全反射，这样，在θ0 < θc、不发生全反射的情形下，利用敷于界面的1维光子晶体可以实现位相延迟，改变反射光的偏振态，使之由线偏振光(一般而言)变为椭圆或圆偏振光。
如图 1所示，在界面上制成最简单的二元一维光子晶体：ABAB…ABAB，记为(AB)L，L为周期数。A、B是周期内二次元的初始材料，其折射率分别为nA、nB。光以入射角θ0从折射率为n0的光学介质入射，其反射系数r为：
$ {r_k} = \frac{{{\eta _{0, k}} - {Y_k}}}{{{\eta _{0, k}} + {Y_k}}} $
(4) 
图 1 在折射率n0的介质表面制作1维光子晶体
Figure 1. 1-Dcrystals on the surface of medium with refractive index n0
式中，Yk(k=p, s)是光子晶体与衬底(折射率为nj)的组合体的等效折射率，它与入射角、1维光子晶体中各层膜的折射率和几何厚度、折射角、衬底折射率有关：
$ {Y_k} = \frac{{{\eta _1}\left[ {{m_{22}}{U_{L - 1}}(\chi ) - {U_{L - 2}}(\chi )} \right] + {\rm{i}}{m_{21}}{U_{L - 1}}(\chi )}}{{\left[ {{m_{11}}{U_{L - 1}}(\chi ) - {U_{L - 2}}(\chi )} \right] + {\rm{i}}{\eta _1}{m_{12}}{U_{L - 1}}(\chi )}} $
(5) 式中, m11、m12、m21及m22为周期传输矩阵的矩阵元，意义及其表达式与参考文献[19]中的(7)式相同; χ=(m11+m22)/2, UL-1(χ)、UL-2(χ)是χ的第L-1、L-2阶次第2类切比雪夫多项式(L为周期数，如前所述)[19]。
由(5)式可见，等效折射率Yk是波长λ的函数：Yk=Yk(λ)；且Yk是复数。根据参考文献[19]中的结果可知，1维光子晶体的周期数达到很高时，Yk(λ)的实部YRe(λ)在某波长范围内的取值将趋近于或等于零，因而只留下虚部YIm(λ)，而对应的波长范围就是光子晶体的带隙。这与全反射的情况类似，说明在光密到光疏入射时，若不发生全反射，则可以在光密介质表面制作多周期多层膜的1维光子晶体，也可以产生位相延迟，使入射的线偏振光(一般而言)变为椭圆或圆偏振光。
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选用冰晶石(Na3AlF6)和硫化锌(ZnS)作为1维光子晶体周期的两种薄膜介质A和B，其折射率为：nA=1.35(Na3AlF6)，nB=2.35(ZnS)，每层膜的光学厚度d均为λ0/4(λ0为参考波长)，即nAdA=nBdB=λ0/4。通过镀膜的方式交替涂敷于折射率n0=1.52的玻璃上，再与折射率n1=1(空气)的介质连接，结构示于图 1，光从玻璃入射于光子晶体后进入空气。根据薄膜光学原理，利用特征矩阵法，对这种结构的光子晶体进行数值模拟，分析其分光特性及相关性能[20-21]。
图 2是光以θ0=30°角从玻璃入射于周期L=10的1维光子晶体后进入空气的情况下反射率随波长变化的曲线，λ0=620 nm。可见，p分量光、s分量光都出现了带隙，分别在大约480 nm~660 nm和450 nm~720 nm范围内，p分量光的带隙小于s分量光的带隙，这是由于在斜入射下每层膜的等效折射率发生改变，p分量光的ηp变大，s光的ηs变小，因而影响了各自情形下的带隙的改变。在各自的带隙内，p分量光、s分量光的反射率都很高，接近100%，与全反射相媲美，不妨称之为准全反射。
图 2 以30°角斜入射于周期L=10的1维光子晶体的反射率
Figure 2. Reflectance of 1-D photonic crystal with period L=10 obliquely incident at an angle of 30°
根据(5)式进行数值模拟计算，并绘制(Na3AlF6/ZnS)L 1维光子晶体在斜入射下的Yk(λ)曲线，入射角也是θ0=30°，如图 3所示。由前所述已知，Yk(λ)是复数：Yk(λ)=YRe(λ)+iYIm(λ)(其中YRe(λ)和YIm(λ)分别表示等效折射率实部和虚部)，图 3上半部的两条曲线是p光、s光的YRe(λ)的曲线：Yp, Re(λ)、Ys, Re(λ)；而下半部的两条曲线是p光、s光的YIm(λ)的曲线：Yp, Im(λ)、Ys, Im(λ)。与图 2对比，在图 3中上半部的YReRe(λ)曲线里，p光、s光的带隙区间(图 2中反射率在100%的波长范围)对应的YRe(λ)=0, Yp, Re(λ)=0、Ys, Re(λ)=0，而图 3下半部分表示：带隙区间内，YIm(λ)并非全为非零值。上下两部分综合表明，在带隙内，光子晶体表现出具有虚等效折射率的情况。
图 3 θ0=30°时的等效折射率Yk(λ)
Figure 3. Effective reflectivity Yk(λ) at incident angle of θ0=30°
这与全反射很像，在p光、s光的带隙内，两分量光都能实现极高的反射(准全反射)，且等效折射率是纯虚数，因而带隙内的p光、s光经过反射后出现位相改变，在带隙相同的区间，p光、s光之间就存在位相延迟φ，如图 4所示。图 4为10周期的Na3AlF6/ZnS 1维光子晶体在30°角斜入射下p光对s光的位相延迟曲线图，与图 2相对比可见，图 4中在p光的带隙内，p光、s光的位相改变存在差异，即出现位相延迟，而在这个范围内，p光、s光的反射率都很高，发生准全反射，根据光的偏振态发生改变的条件可知，若入射光为线偏振光，偏振方向与入射面成一定角度时，反射光则一般会变为椭圆偏振光。虽然在p光带隙之外，p光、s光的位相改变也存在差异，即也有位相延迟，但是这些区域，p光、s光的强度发生了改变，因而不考虑这些区域的情况。但是在p光的带隙内，p光、s光的位相延迟相对而言数值比较小，不利于应用，为了克服这个缺憾，可以在玻璃片两个表面制作光子晶体，让光在玻璃片内多次反射，实现位相延迟积累以达到特殊目的，如实现类似于λ/4波片或半波片的器件。
图 4 以θ0=30°入射时p光对s光的位相延迟
Figure 4. Phase delay of p light to s light at incident angle of θ0=30°
He-Ne激光是实验上常用的光源，因此根据上面的讨论，可以设计一个应用于632.8 nm的类似于λ/4波片或半波片的位相延迟器。对于λ/4波长的位相延迟器，其结构示于图 5。左图是这种位相延迟器的前(后)视图，这是一种梯形玻璃块ABCD，图中虚线表示光线的传播经历。玻璃的折射率n0=1.52，玻璃块的∠A=28.9°。在AB面和CD面镀制周期L=10的Na3AlF6/ZnS 1维光子晶体。632.8 nm的线偏振光垂直于AD面入射进入玻璃块内，在AB面斜入射(入射角则为28.9°)，再反射到CD面，再反射回到AB面，再在AB面反射之后垂直于BC面出射，数值计算表明，3次反射之后，p光、s光的位相改变之差即位相延迟累积达到90°，因而块体ABCD是一块位相延迟器，其作用等同于λ/4波片。这种位相延迟器的一个明显的优点是可以改变光的传播方向，满足特定的需求。计算表明，在使用时，为保证出射光的圆偏振性很高，入射的线偏振光光矢量与入射面的夹角(即方位角)约为44.47°；而在0°和90°之外的其它角度时，出射光则为椭圆偏振光。细致的计算表明，入射光要垂直于AD面入射才能出现前述的情况，所以器件制造时要非常精细，而在实际使用中也要非常注意，做到严格垂直入射，可见，这种位相延迟器的制造和使用是很苛刻的，必须改进，详细的改进正在进行中。
图 5 上下表面敷有Na3AlF6/ZnS 1维光子晶体的位相延迟器
Figure 5. Phase retarder with Na3AlF6/ZnS 1-D photonic crystal on the top and bottom surfaces
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本文作者在折射率n0=1.52的玻璃上，镀制了由Na3AlF6和ZnS构成的多周期二次元一维光子晶体。讨论了当光以小于全反射临界角的角度从玻璃斜入射于光子晶体再进入空气时的情况。进行仿真后可见：在带隙范围内，1维光子晶体的等效折射率是虚等效折射率，与此前的工作结果相同[19]; 在斜入射时，p光和s光带隙对应的等效折射率都是虚等效折射率; 带隙内的p光和s光的反射光各自位相增加，出现位相延迟，其偏振态发生改变，由线偏振光变为椭圆(圆)偏振光; 在发生全反射时，光疏媒质的等效折射率是虚等效折射率。反射光出现位相增加，产生位相延迟，其偏振态发生改变，由线偏振光变为椭圆(圆)偏振光。
以Na3AlF6和ZnS为材料设计的多周期二次元一维光子晶体，其作用类似于λ/4波片，可称之为光子晶体位相延迟器, 该延迟器可以改变光的传播方向。与常见的波片不同的是，它属于反射式，可通过多次内反射形成位相延迟积累，从而达到90°的位相差，满足改变偏振态的位相条件，克服了薄膜λ/4波片的缺陷[22]。
利用光子晶体实现位相延迟的讨论
Discussion on phase retardation using photonic crystals
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摘要: 为了设计制造新型的位相延迟器，利用1维光子晶体的特性，在折射率为1.52的玻璃上，镀制了由硫化锌(ZnS)与冰晶石(Na3AlF6)构成的多周期二次元一维光子晶体, 进行了数值模拟计算及理论分析。结果表明，在带隙范围内，1维光子晶体的等效折射率是虚等效折射率; 在斜入射时，带隙内的p光和s光的反射光各自位相增加，出现位相延迟，其偏振态发生改变，由线偏振光变为椭圆(圆)偏振光; 在发生全反射时，光疏媒质的等效折射率是虚等效折射率; 反射光出现位相增加，产生位相延迟，其偏振态发生改变，由线偏振光变为椭圆(圆)偏振光。该延迟器可以改变光的传播方向，改变偏振态的位相，克服了薄膜λ/4波片的缺陷。Abstract: In order to design and manufacture a new type of phase retarder, a multi-period binary 1-D photonic crystal composed of zinc sulfide (ZnS) and cryolite (Na3AlF6) was prepared on the glass with a refractive index of 1.52 by using the characteristic 1-D photonic crystal. Numerical simulation calculation and theoretical analysis were carried out. The analysis results show that, the effective refractive index of one-dimensional photonic crystal is the virtual equivalent refractive index in the band gap range. At oblique incidence, the phase of the reflected light of the p light and s light in the band gap increases, the phase delay occurs, and the polarization state changes from linear polarized light to elliptical (circular) polarized light. When total reflection occurs, the effective refractive index of the optical sparse medium is the virtual equivalent refractive index. The phase of reflected light increases and phase delay is observed at the same time. Its polarization state changes from linear polarized light to elliptical (circular) polarized light. The propagation direction of light and the phase of polarization state can be changed by using the retarder, and the defect of thin film λ/4 wave-plate is solved.
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Key words:
- physical optics /
- phase retardation /
- total reflection /
- imaginary refractive index /
- photonic crystal /
- band gap
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图 1 在折射率n0的介质表面制作1维光子晶体
Figure 1. 1-Dcrystals on the surface of medium with refractive index n0
图 2 以30°角斜入射于周期L=10的1维光子晶体的反射率
Figure 2. Reflectance of 1-D photonic crystal with period L=10 obliquely incident at an angle of 30°
图 3 θ0=30°时的等效折射率Yk(λ)
Figure 3. Effective reflectivity Yk(λ) at incident angle of θ0=30°
图 4 以θ0=30°入射时p光对s光的位相延迟
Figure 4. Phase delay of p light to s light at incident angle of θ0=30°
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