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本文中讨论运用结合GMRES的半光滑牛顿法对含有随机高斯白噪声图像去噪, 并与结合PCG的半光滑牛顿法、ADMM[20-22]方法进行比较。虽然ADMM算法出现比较早, 但是在最近几年才应用到图像处理中且效果比较好。作者做了大量对比实验, 程序编写在MATLAB R2007b中进行。采用定量指标:峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio, PSNR)和均方误差(mean squared error, MSE)对图像质量进行评价。其定义分别如下:
式中, M和N为图像尺寸大小, I和J分别是原始无噪图像和恢复后的图像, Iij和Jij表示图像像素。RPSNR值越大或RMSE值越小, 恢复效果越好。在理论和实践的指导下, 一般使用原始图像x的连续迭代值之间的差‖x(k+1)-x(k)‖22来度量算法的收敛性。另外引入相对误差l作为算法的停止条件。其定义如下:
设定当l≤10-4或者迭代次数达到最大迭代次数c时停止迭代。
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先给出差分矩阵A和信号x:
式中, x=(x1, x2, …, xn), i=1, 2, …n。去噪模型为(1)式, 这里噪声数据是服从n(0, 1)正态分布的随机高斯白噪声。选择不同的正则化参量λ, 在解非对称线性方程组时比较分别结合GMRES, PCG的半光滑牛顿法和ADMM这3种算法, 观察定量指标RMSE的变化情况。
图 1a中给出了高斯噪声的方差δ=8的信号图形的真实数据与噪声数据。图 1b、图 1c和图 1d表示在高斯噪声的方差δ=8、正则化参量λ=50的情况下, 分别结合GMRES, PCG的半光滑牛顿法和ADMM这3种算法的对比去噪图形。图 1e表示均方误差RMSE随迭代时间t的变化曲线。图 1a、图 1b、图 1c和图 1d的横坐标v均表示离散点的坐标, 无单位。图 1a纵坐标w表示观察到的离散点所对应的值, 图 1b、图 1c和图 1d的纵坐标w分别表示用不同方法恢复离散点所对应的值, 均无单位。表 1中给出当正则化参量λ=50时, 随着参量β的变化, 3种算法的迭代次数k、迭代时间t和均方误差RMSE的变化数据。
表 1中, k1, k2和k3分别表示结合GMRES, PCG的SSN和ADMM算法恢复信号的迭代次数; t1, t2和t3分别表示结合GMRES, PCG的SSN和ADMM算法恢复信号的迭代时间; m1, m2和m3分别表示结合GMRES, PCG的SSN和ADMM算法恢复信号的RMSE。
β k1 t1 M1 k2 t2 M2 k3 t3 M3 2.2 29 2.1485 0.0662×105 15 19.9191 0.0992×105 1000 5.2583 0.1394×105 2.3 49 2.3740 0.0501×105 17 21.2814 0.0702×105 1000 5.4383 0.1225×105 2.4 86 3.1606 0.0484×105 20 25.9716 0.0581×105 1000 4.3907 0.1349×105 2.5 70 4.1595 0.0347×105 15 17.9194 0.0495×105 1000 4.1653 0.1121×105 2.6 44 1.5466 0.0450×105 15 16.9880 0.0579×105 1000 4.0729 0.1467×105 2.7 54 3.3145 0.0470×105 15 18.7179 0.0663×105 1000 4.0212 0.1565×105 2.8 45 3.0259 0.0437×105 17 19.6219 0.0774×105 1000 4.2353 0.1620×105 2.9 62 2.2909 0.0472×105 16 19.7418 0.0861×105 1000 4.1886 0.1748×105 3.0 45 3.0073 0.0509×105 24 28.2398 0.0743×105 1000 4.9195 0.1854×105 3.1 56 2.1859 0.0591×105 22 28.3739 0.0820×105 1000 5.0466 0.1949×105 3.2 80 2.7877 0.0421×105 18 22.8552 0.0565×105 1000 3.9656 0.1915×105 3.3 44 3.2971 0.0514×105 15 17.4596 0.0793×105 1000 4.0851 0.1971×105 3.4 84 5.0000 0.0511×105 15 19.5113 0.0866×105 1000 5.6617 0.2348×105 3.5 73 2.7443 0.0432×105 18 23.2715 0.0594×105 1000 4.4383 0.2249×105 Table 1. Experiment parameters when λ=50
由表 1看出:ADMM算法运行1000次没有达到收敛标准, 随着参量β不同, 运行时间可能不同。虽然结合GMRES的SSN迭代次数不是最少, 但迭代时间比结合PCG的SSN和ADMM的少很多, 而且它的RMSE比结合PCG的SSN和ADMM的RMSE小很多, 效果很好。综合图 1和表 1发现, 结合GMRES的SSN和结合PCG的SSN都具有局部超线性收敛性, ADMM只有线性收敛性。
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选取图像处理中常用的Cameraman图像作为测试目标, 并对其加入标准方差δ=12的高斯白噪声。Cameraman图像中不但含有像素跳跃区域(相机支架)、图像渐变区域(天空), 而且还含有图像震荡区域(草坪)。实验中取正则参量λ=8, 图 2中给出了结合GMRES的半光滑牛顿法和结合PCG的半光滑牛顿法去噪结果。其中图 2a为原始图像; 图 2b是含噪图像; 图 2c是结合GMRES的半光滑牛顿法的去噪结果; 图 2d是结合PCG的半光滑牛顿法的去噪结果; 图 2e和图 2f分别是定量指标RPSNR和RMSE随时间t的变化曲线图。
从图 2可以看出, 无论从RPSNR, RMSE还是时间t方面作比较, 结合GMRES的半光滑牛顿法均优于结合PCG的半光滑牛顿法。