Construction of dynamic model of semiconductor optical amplifier based on iterative algorithm

基于光纤接入技术的宽带接入网技术发展迅速，用户端数据业务和视频业务已经成为用户宽带消费的主体，未来的高宽带技术急需一种大容量、高速率、低成本的接入方案^[1]，5G网络需求的超密集接入网技术成为目前研究的热点。集成化的光网络单元利用分布反馈激光器和半导体光放大器(semiconductor optical amplifier，SOA)集成作为一个上行信号源，而SOA性能的优劣将直接影响到终端用户的网络体验，因此对SOA进行精确预测是非常重要的^[2]。

SOA是双端口行波放大器，结构如图 1所示，其输入、输出的两个端面均镀有增透膜。SOA是在有外部电流注入情况下，使外来光子获得增益和放大的器件^[3]。SOA的工作带宽一般比较宽，工作波段为1550nm时，其增益带宽一般在60nm左右。SOA有源区长度一般为1mm，厚度一般为0.4μm，中心有源区宽度约为0.4μm^[4]。

Figure 1.  Structure diagram of SOA

为分析并精确预测SOA的性能，需要对SOA进行数学建模。最近，WEN等人提出了一种四模式SOA(four mode SOA, FM-SOA)的理论模型，该模型的不足在于高阶模态模型对空间非均匀性更加敏感^[5]。KHARRAZ等人提出了一种非线性半导体光放大器增益饱和增强模型，然而该模型没有考虑增益与波长的关系，同时忽略了放大自发辐射(amplified spontaneous emission, ASE)噪声^[6]，它们均限制了SOA建模的操作条件范围。作者以SOA宽带理论模型为基础，提出一种宽带InP-InGaAsP的SOA模型，通过建立合适的增益模型，将其扩展为具有量子阱有源区的SOA模型，放大器内的自发辐射由行波功率方程模拟，并忽略自发信号的相位。在该模型设计中，阐明了自发辐射与受激辐射之间的关系，分析了增益和噪声与偏置电流、输入功率之间的关系。

SOA是一种双端口行波放大器，其有源区是由InGaAsP直接禁带体材料制作的，呈脊行波导结构，周围材料是InP质半导体，有源区掩埋在InP质基底内，如图 2所示^[7]。

Figure 2.  Internal structure diagram of SOA

图 2a为SOA内部结构侧视图，图 2b为内部结构俯视图。SOA中心有源区的长度为L_c，有源区中心区域横向锥度的长度为L_t，因此SOA建模的平均长度可由L=L_c+L_t近似给出^[8]。在放大器端面，横向锥度将光学限制因子Γ从其中心有源区域逐渐减小到0，这使得模型横向轮廓得以扩展，从而改善了单模光纤的输入和输出耦合效率。

InGaAsP直接带隙体材料活性区域具有的材料增益系数g_m(ν, n)^[9]为:

式中, c为真空中的光速，ν为光频率，ν′表示激发后的光频率，n₁表示有源区的折射率，h为普朗克常数，ħ为普朗克常数的1/2π，τ表示辐射载流子的复合寿命，m_e, m_h分别为导带和价带的空穴有效质量，n表示导带的载流子密度, f_c和f_v分别为能带和价带的费米能级分布, E_g表示带隙能量, T₀表示电子与单色场的相干相互作用的平均寿命。

在该模型中，N_s信号在发生耦合损耗之前被注入了光频ν_k和能量P_{in, k}，在嵌入式波导的辅助下，信号通过放大器传播，并在相对的小平面上射出。SOA模型的建立基于一组耦合微分方程，该方程描述了放大器内部变量之间的相互作用，即载流子密度和光子速率。在放大器中，每个输入信号引起的场的空间变化分量可以分解成两个复杂的行波E_{s, k}⁺和E_{s, k}^-来表示在z轴正方向和负方向上的传播，E_{s, k}⁺和E_{s, k}^-遵循行波方程^[10]：

式中，α(n)表示材料损耗系数, $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$, k=1, 2, …, N_s, 行波方程受边界条件影响：

输入面左侧的输入信号字段是：

输出面右侧的输出信号字段是：

耦合损耗后的输出信号功率为：

式中, η_in, η_out分别为输入和输出的耦合效率，振幅反射率系数$r_{1}=\sqrt{R_{1}}, r_{2}=\sqrt{R_{2}}$，R₁和R₂分别为输入面和输出面的反射率。信号传播系数$\beta_{k}=\frac{2 \pi n_{\mathrm{eq}} \nu_{k}}{c}$, n_eq是给定放大器波导的等效指数^[11]：

式中, n₂是有源区周围InP材料的折射率。

信号放大还取决于放大器自身产生的自发辐射噪声的数量，这是因为噪声功率不仅参与了可用载流子的排放，而且还有助于使增益饱和。然而无需将自发辐射视为相干信号，因为它在相对宽的波段上连续分布，相邻波长分量之间具有随机相位。当存在反射小平面时，自发辐射出的噪声表明纵向腔模式的存在，由于这个原因，可以假设噪声光子仅存在于谐振腔整数倍的离散频率处，这些频率由下式给出：

式中, j=0, …, N_m-1；$\nu_\text{c}=\frac{E_\text{g, 0}}{h}$; Δν_c为与共振ν₀相匹配的频率偏移量；E_{g, 0}表示无注入载流子的带隙能量；K_m, N_m是两个正整数，其值取决于SOA增益带宽和模型方程数值解所要求的精度。

纵模频率间隔为：

可以证明，在两个相邻谐振腔上对相干信号求平均与对在行波功率(或光子速率)方程方面相干处理信号是相同的。自发辐射可用功率来描述，信号必须用具有明确幅度和相位的波来处理。N_j⁺和N_j^-被定义为特定偏振的自发辐射光子率，服从以下行波方程:

式中，R_sp表示耦合到噪声信号中的自发辐射噪声。

在符合边界条件的情况下：

理想的放大器没有增益饱和(这意味着整个放大器的载流子密度恒定)、零损耗系数、小平面反射率和耦合损耗。其材料增益系数为g_m=g_m′(>0)，在这种情况下N_j⁺可从下式解得：

同时在K_mΔν_m的中心频率带ν_j中，在单极化处给出输出噪声功率：

式中, G是放大器增益，用行波功率方程来描述N_j⁺和N_j^-，并假设间距中所有的自发光子都处于共振频率中。在实际装置中，源自R_sp注入的自发光子将均匀分布在K_mΔν_m上。如果在ν_j的单程增益为G_s，则间隔Δν_m的频率信号增益为^[9]：

式中, 单通相移为：

共振时信号增益为：

假设放大器的噪声输入光谱密度σ_in均匀分布在以ν_j为中心的Δν_m处，那么Δν_m中的总输出噪声为：

如果输入噪声功率集中在ν_j处，输出噪声光子率将为：

式中, K_j使得N_{res, out}=N_out，则其值为：

式中，$ \gamma=\frac{4 G\left(\nu_{j}\right) \sqrt{R_{1} R_{2}}}{\left[1-\sqrt{R_{1} R_{2}} G_{\mathrm{s}}\left(\nu_{j}\right)\right]^{2}} $, 且K_j零面反射率的单位一致。

载流子密度服从速率方程：

式中, I是偏置电流, W是中心有源区宽度。在(23)式中，假设所有偏置电流仅通过有源区而不通过周围的InP区，偏置电流在有源区宽度上将均匀分布。

重组速率项R(n)为^[12]：

式中, R_rad和R_n-rad(n)分别是辐射和非辐射载流子复合率，两者都可以表示为载流子宽度n的多项式函数：

式中，A_rad和B_rad为线性双分子辐射复合系数^[13], A_n-rad表示线性非辐射复合系数^[14]，B_n-rad表示非辐射双分子重组，C_aug表示俄歇复合系数，由于泄漏效应，D_leak表示重组系数，在具有高载流子密度的SOA中，俄歇复合和泄漏效应可能是十分明显的，对于该模型所考虑的特定器件，假设从有源区到周围InP区的载流子泄漏忽略不计。

由于SOA模型方程不能解析求解，因此需要进行数值求解，该算法的流程图如图 3所示。

Figure 3.  Model algorithm of SOA

在该模型中, 为了预测SOA特性，使用一种调整载流子密度的算法。放大器模型被分割为i=1~N_z部分。Q(i)表示第i部分，W(i)表示一个小于整体的分量, 使得整个放大器中的Q(i)值接近零，然后在每节运算中计算Q(i)来进行数值求解。算法的第1步是将信号场和自发辐射光子率初始化为零，其次利用(2)式、(3)式和(12)式、(13)式的有限差分解估计信号场和噪声光子密度。迭代持续进行，直到整个SOA的信号场、噪声光子率和载流子密度在连续迭代之间的百分比变化小于期望的容忍度。当迭代停止时，计算出输出自发辐射功率谱密度，并计算诸如信号增益，噪声系数和输出自发噪声功率之类的参量，该算法在多种操作条件下具有良好的收敛性和稳定性。

SOA可以用于同时放大不同波长的信号，图 4为两个波长为1550nm和1555nm的输入信号功率系数谱以及信号波长1550nm时，偏置电流为120mA下SOA的噪声频谱图。当在SOA中放大调制信号时，必须注意放大器以线性方式操作，否则将发生交叉增益调制。

Figure 4.  Optical spectrum and noise spectrum of SOA output with bandwidth of 0.1nm

噪声系数F_n的计算公式为^[15]：

式中, η_out表示输出耦合损耗，假定放大器输入信号噪声是可忽略的，则G(ν)是光频ν处光纤间的增益。

SOA载流子密度、前向和后向传播的总ASE光子速率以及低输入信号功率和高输入信号功率下信号光子速率的空间分布情况如图 5所示。由于低的小平面反射率，后向传播的信号可以忽略不计。在低输入功率时，载流子密度空间分布具有对称性，在SOA的中心处达到峰值，并朝向输入和输出小平面拖尾，如图 5a所示，这是因为ASE在这些区域达到峰值，对于图 5b，在高输入功率下，载流子密度空间分布变得更不对称, 对于空间分布的分析可用于辅助SOA的设计。

Figure 5.  Spatial distribution of forward- and backward- propagating signal and noise

图 6中描述了SOA在输入信号波长为1550nm下增益和噪声与偏置电流、输入功率之间的关系。对于图 6a，在偏置电流较小的情况下，SOA工作在非饱和状态，即线性区，增益随着偏置电流近似呈线性变化，随着偏置电流的增大，增益变化缓慢，并且逐渐达到上限值，在120mA左右达到饱和状态，即非线性区。在偏置电流一定的情况下，增益随着输入功率的增大而减小。噪声变化情况如图 6b所示，偏置电流较小时，噪声急剧下降，在偏置电流约为30mA时，SOA开始工作，并在120mA附近变化缓慢，趋于稳定。在偏置电流一定的情况下，输入功率增大时噪声呈减小状态。从图中可以看出，偏置电流在120mA左右时，增益饱和，噪声较低，SOA性能达到最优。

Figure 6.  The effect of bias current with different SOA input powers

由图 7可以看出, 增益随着输入功率的增大呈下降趋势:输入功率较小时，增益下降缓慢; 当功率增加到-20dBm时，下降趋势非常明显，反映了SOA的增益饱和性。同样的，噪声在较小输入功率下变化缓慢：当输入功率大于-20dBm时，下降趋势明显；当输入功率大于-5dBm时，可以看出，噪声随着输入功率的增大而增大，不再呈下降趋势，造成这一反常现象是由于光纤非线性效应^[16]。在输入功率一定时，增益随着偏置电流的增大而增大，噪声则随着偏置电流的增大而减小。从图中可以看出，输入功率在-10dBm左右，SOA的性能最优，此时的增益相对稳定且较高，噪声稳定且较小。

Figure 7.  The effect of input power on fiber-to-fiber gain and noise figure for different SOA bias currents

通过分析SOA自发与受激辐射之间的关系，建立了一种有效的SOA理论模型。在对SOA的建模过程中，通过求解自发辐射系数的数值解，采用多阶迭代算法来分析SOA的实时增益以及噪声指数。从结果可知，SOA的增益和噪声指数在输入光功率不变时，随偏置电流的增大而逐渐趋于饱和, 在偏置电流一定的情况下，SOA的增益以及噪声指数随输入功率的增大而增大, 在偏置电流为120mA、输入功率为-10dBm时，SOA的性能最佳。该模型可用于研究不同材料和几何参量对SOA特性的影响，为改善半导体光放大器模型提供了一定的借鉴意义。