The relation of harmonic intensity between H₂⁺ and D₂⁺ with wavelength

当强激光场与原子、分子相互作用时会发生许多强场现象。高次谐波是其中一个最为重要的现象^[1], 它为获得极紫外光源和阿秒脉冲提供了一种有效的方法^[2]。因为光谱连续区越宽, 获得的阿秒光源就会越短, 因此，近20年时间里，延伸谐波截止能量获得了广泛关注^[3-8]。

基于半经典三步模型理论，即“电离-加速-回碰”^[9]，谐波截止能量在I_p+3.17U_p处(I_p是电离能；U_p=I/4ω²是自由电子在激光驱动下获得的动能，I和ω分别为光强和激光频率)。由此可见，利用长波长激光可以有效延伸谐波截止能量，例如中红外激光场^[10]。但是，非常遗憾的是，研究表明谐波辐射效率会随着激光波长增大而减小。一般来说，普遍接受的光谱强度随波长的变化规律为λ^-5~λ^-6(λ为激光波长)^[11]。这里主要由2点组成：(1)电子在3维空间中运动，则光谱强度随波长增大会有λ^-3的减小趋势^[12]；(2)谐波截止能量与波长存在E_c∝λ²的关系，这会导致谐波辐射效率与波长额外的λ^-2的关系^[9]。因此，如何在长波长区间减缓谐波辐射效率的减小得到了广泛关注。例如：LAN等人提出利用双色场调控可以有效减缓谐波效率的衰弱^[13]; DU等人提出利用里德堡态也可以起到相似的作用^[14]。

虽然谐波效率与激光波长的关系已经有所报道^[11]，但是，选取的体系多为原子，对于H₂⁺及其同位素分子谐波强度与激光波长的关系却少有报道。众所周知，H₂⁺及其同位素分子谐波光谱相比于原子谐波光谱具有更多的结构和特点。例如：双原子核所导致的谐波辐射的多通道效应^[15]，以及谐波辐射的空间分布效应^[16]; 同位素效应对谐波光谱的影响^[17]; 核间距延伸所导致的3种电离及谐波辐射机制^[18]，即直接电离、电荷共振增强电离和解离态电离。因此，研究H₂⁺及其同位素分子谐波强度与激光波长的关系可以更深层次了解分子谐波光谱的特点。鉴于此，作者选取600nm~1600nm激光波长，研究了H₂⁺和D₂⁺谐波强度与波长之间的变化关系, 并给出物理机制分析。

考虑最简单的H₂⁺(或D₂⁺)模型，即核运动、电子运动及激光偏振都在同一方向。此时，体系的薛定谔方程为^[19]:

式中, t为激光的作用时间，R和z为核与电子的坐标，V(z, R)为势能项，ψ(z, R, t)为体系波函数，m_j=H和m_j=D为H和D的核质量。激光场E(t)为:

式中, E为激光振幅，ω_λ为激光频率，λ表示对应波长，τ为激光半峰全宽且τ=20fs。高次谐波谱图可表示为:

式中, 。

本文中谐波辐射强度定义为谐波截止附近20阶谐波强度的平均值。

图 1a中给出了H₂⁺与D₂⁺谐波强度随波长的变化的关系。激光波长从600nm变换到1600nm, 激光强度为I=3×10¹⁴W/cm²(定义为弱光强情况)。谐波效率随着波长增大而减小，并且H₂⁺谐波强度高于D₂⁺。具体来说，在短波长区域(600nm < λ < 1000nm)，H₂⁺谐波强度与波长关系为λ^-6.32，其强度要比D₂⁺的λ^-5.45下降得更快，而在长波长区域(1100nm < λ < 1600nm)，H₂⁺谐波强度与波长关系为λ^-6.61，其强度减小趋势要比D₂⁺的λ^-7.23缓慢。图 1b中同样给出了H₂⁺与D₂⁺谐波强度随波长的变化的关系。激光强度为I=6×10¹⁴W/cm²(定义为强光强情况)。同样，在短波长区域(600nm < λ < 900nm)，H₂⁺(λ^-5.21)光谱强度减小趋势要快于D₂⁺(λ^-4.62); 在长波长区域(1000nm < λ < 1600nm)，H₂⁺(λ^-7.63)光谱强度减小的趋势要慢于D₂⁺(λ^-7.91)。但是，在短波长区域，H₂⁺光谱强度小于D₂⁺；而在长波长区域H₂⁺光谱强度却略大于D₂⁺。

Figure 1.  Wavelength dependence of harmonic efficiency of H₂⁺ and D₂⁺

为了解释谐波强度随波长的变化关系，图 2和图 3中给出了H₂⁺和D₂⁺在不同激光驱动下谐波辐射时频分析及核间距变化^[20]。这里只选取800nm(短波长区域)和1600nm(长波长区域)情况进行分析。首先，在800nm弱光强驱动下(见图 2)，H₂⁺谐波辐射过程具有较多的能量峰。对于本文中选用的谐波强度定义区域，谐波光谱主要由能量峰A~F组成；并且，能量峰A~F具有较强的强度，如图 2a所示。在1600nm激光驱动下，谐波强度定义区域只由能量峰A和B组成, 并且其强度明显小于800nm激光场的情况，如图 2b所示。由此可见，谐波能量峰数量和强度的减少是谐波光谱强度随波长增大而减小的原因。对于D₂⁺分子，在800nm和1600nm激光驱动下，谐波光谱区域依然由6个和2个能量峰组成，如图 2c和图 2d所示。但是，其辐射强度要小于H₂⁺情况，因此，在弱光强下H₂⁺谐波强度大于D₂⁺。为何H₂⁺谐波辐射强度在短波长区域下降速度要快于D₂⁺, 而在长波长区域又慢于D₂⁺。分析核间距变化可知，在短波长区域(例如800nm场情况)，H₂⁺核间距在能量峰A~F区域可以由3.8a.u.延伸到6.0a.u.(本文中a.u.表示原子单位，未专门标注的表示任意单位), 如图 2a所示。这一区间正好位于电荷共振增强区域，因此导致能量峰A~F具有较强强度。随着波长增大，有效能量峰数量减小，并且在能量峰区域最大核间距延伸由6.0a.u.减小到5.0a.u., 这导致有效能量峰强度变化明显。对于D₂⁺分子，由于较慢的核运动速度，其核间距在能量峰A~F区域只由3.4a.u.延伸到4.2a.u.，如图 2c所示。并且，随着波长增大，有效能量峰区域最大核间距延伸只由4.2a.u.减小到4.0a.u.，因此，D₂⁺有效能量峰强度变化小于H₂⁺。这是短长波区域H₂⁺谐波辐射强度下降速度快于D₂⁺的原因。在长波长区域，H₂⁺最大核间距在有效能量峰区域可以由5.4a.u.变化到4.3a.u.。例如，1600nm场情况，其核间距在能量峰A和B区域为3.8a.u.~4.3a.u.，如图 2b所示。虽然核间距减小导致谐波辐射强度减弱，但H₂⁺依然处在电荷共振增强电离区域。对于D₂⁺分子，由于较慢的核运动速度，最大核间距变化在有效能量峰区域仅为3.7a.u.~4.0a.u.。例如，1600nm场情况，其核间距在能量峰A和B区域为3.4a.u.~3.7a.u.，如图 2d所示。显然，对于D₂⁺分子而言，在长波长区域其电离过程未进入电荷共振增强电离区域，因此导致谐波能量峰强度明显下降。这是长波长区域D₂⁺谐波辐射强度下降速度快于H₂⁺的原因。图中，左纵坐标为谐波阶次ω/ω₈₀₀和ω/ω₁₆₀₀;右纵坐标R(t)表示随时间变化的核间距, 用点虚线表示。

Figure 2.  The time-dependent nuclear distances and time-frequency analyses of harmonics driven by lower intensity

在强光强驱动下(见图 3)，谐波辐射强度随波长增大而减小的原因依然如图 2所示，即波长增大导致谐波辐射能量峰强度及数量减少是造成谐波辐射强度随波长增大而减小的原因。这里不再过多描述。强光强下主要考虑一点，即为何H₂⁺谐波效率在短波长区域小于D₂⁺；而在长波长区域又大于D₂⁺。首先分析短波长区域，例如在800nm激光驱动下，本文中定义的谐波强度范围依然由能量峰A~F组成，如图 3a和图 3b所示。对于H₂⁺分子，能量峰A~D具有较强强度，而E和F强度较弱，如图 3a所示。对于D₂⁺分子，能量峰A~F都具有较强强度，如图 3b所示。因此，在短波长区域可观测到D₂⁺谐波强度大于H₂⁺。分析核间距变化可知，H₂⁺核间距在能量峰A~D区域由3.8a.u.增大到6.0a.u.；而在E和F区域其继续延伸到7.5a.u.。这说明H₂⁺在能量峰A~D区域处于电荷共振增强电离区域；而在E和F区域逐渐延伸出共振电离区域，因此导致能量峰A~D具有高强度, 能量峰E和F强度降低。对于D₂⁺分子，其核间距在能量峰A~F区域由3.7a.u.延伸到5.8a.u.。这说明D₂⁺在能量峰A~F区域一直处于电荷共振增强电离区域，因此导致能量峰A~F都具有高强度。接下来，在长波长区域，例如在1600nm激光驱动下，谐波光谱范围依然由能量峰A和B组成，如图 3c和图 3d所示。对于H₂⁺分子，其核间距在能量峰A和B区域可由4.0a.u.增大到4.5a.u.，即H₂⁺在此时间段处于共振电离区域，因此能量峰A和B具有略高的强度，如图 3c所示。对于D₂⁺分子，其核间距在能量峰A和B区域仅由3.7a.u.增大到4.2a.u.，即D₂⁺在此时间段电离时只有后半段处于共振电离区域，因此能量峰A和B强度略低，如图 3d所示。这是H₂⁺谐波强度在长波长区域大于D₂⁺的原因。

Figure 3.  The time-dependent nuclear distances and time-frequency analyses of harmonics driven by stronger intensity

理论研究了H₂⁺和D₂⁺谐波光谱强度随波长的变化关系。结果表明，在弱光强下，H₂⁺谐波强度在短波长区域为λ^-6.32，其强度要比D₂⁺的λ^-5.45下降得更快。而在长波长区域，H₂⁺谐波强度与波长关系为λ^-6.61，其强度减小趋势要比D₂⁺的λ^-7.23缓慢, 并且在弱光强驱动下，H₂⁺谐波强度始终大于D₂⁺。在强光强下，H₂⁺谐波强度在短波长区域为λ^-5.21，光谱强度减小的趋势要大于D₂⁺的λ^-4.62。在长波长区域，H₂⁺光谱强度与波长关系为λ^-7.63，其强度减小趋势要小于D₂⁺的λ^-7.91, 并且在短波长区域，H₂⁺光谱强度小于D₂⁺；而其在长波长区域却略大于D₂⁺。后续的分析表明，分子核间距的延伸及电荷共振增强电离是导致H₂⁺和D₂⁺谐波强度变化的原因。本文中的研究结果可为调控分子谐波强度提供实验和理论支撑。