Finite element analysis of thermo-elastic laser ultrasonic excitation and defect detection

与传统的压电超声检测技术相比，激光超声作为一种非接触式超声波激励技术^[1]，在材料的无损检测工艺过程中被逐渐推广，例如，复合材料的激光超声检测、激光超声扫描成像等^[2]。尤其在高温、高压的恶劣环境中^[3]，利用激光超声技术可以进行测量工件厚度的测量^[4]，监控材料成型过程中的微观结构，检测具有复杂型面工件的内部缺陷。另外，它还具有频带宽、时间和空间分辨率高的特点，亦可应用于材料晶粒度的评价^[5]。

激光超声的激励主要基于烧蚀和热弹两种机制^[6]，当工件吸收的激光功率密度低于材料的烧蚀阈值时，材料不发生熔化而避免了损伤^[7]。材料在脉冲激光辐照下，表层及下方的温度迅速上升，体积随之发生膨胀，进而形成弹性波在材料内部进行传播。热弹膨胀对应的作用力可相应地近似等效于切向力偶^[8]。在超声波的传播路径上，固体中质点的振幅与相对于工件内法线的夹角有关，将质点振幅视为该角度的函数，并称之为指向性函数^[9]。超声波在材料内部或表面遇到缺陷时，会发生反射、衍射及波型转换现象并继续传播。当接收到这些含有缺陷信息的超声波后，便可以进行工件缺陷参量的评估。本文中针对激光辐照工件的2维模型，将脉冲激光视为热流密度加载至模型的表面，同时考虑辐射和对流换热的边界条件，分析了热辐照表层及其下方的温度场，并作为载荷加载于后续的应力场瞬态分析过程中。另外，还研究了热弹机制下工件中体波声场的指向特性，对含有内部缺陷和表面裂纹的工件，讨论超声波信号的特征以便作为缺陷检测的依据。

圆形光斑辐照于工件表面上，以光斑中心为原点建立直角坐标系，工件的2维模型如图 1a所示。图中，f(x)，g(t)分别为脉冲激光在空间及时间上的分布函数：

Figure 1.  Laser irradiation model and directivity of body wave sound field

式中，r₀为光斑半径，τ为脉冲宽度，x是坐标变量，t是时间变量。本文中研究热弹机制下的激光超声，材料的最高温度低于熔点，无需考虑相变，将工件材料视为各向同性并不考虑其热物性，于是，热传导方程为^[10]：

式中，ρ, c, T(x, y, t), κ分别为材料的密度、比热容、温度及导热系数。在激光辐照的上表面区域，热流边界条件为：

式中，A和I₀分别为材料表面的吸收率及脉冲激光的功率密度。工件的边界Γ与周围环境存在着对流和辐射换热，引入表面传热系数h，相应边界条件为：

式中，n表示表面的法向矢量，T₀是环境温度，其数值为293.15K。

初始条件：

材料表层受辐射后温度迅速上升，热应力和热变形随之产生，热-应力耦合方程为^[11]：

式中，λ与μ均为材料的拉梅常数，u=u(x, y, t)为质点的位移，α为热膨胀系数。上下表面(y=0，y=y₀)满足边界条件^[12]:

式中，σ，I分别为应力张量及单位张量。随后，应力波以超声波的形式在工件内部向四周传播。

有限元模型的热传导方程为：

式中，T=T(x, y, t)，而K，C，Ṫ，依次为热传导矩阵、热熔矩阵和温度上升率向量, p₁和p₂分别为热流向量和热源向量。忽略阻尼的影响，弹性波在工件中传播的方程为:

式中，M，ü，R分别为质量矩阵、加速度向量、刚度矩阵，F为上述脉冲激光引起的热应力。位移场的初始条件为:

有限元分析过程中，为了降低或避免边界对于信号接收及分析的干扰，施加了吸收边界条件^[13]。

脉冲激光辐照区域的热弹膨胀力可近似等效于切向力偶^[8]，考虑光斑大小的影响，工件中纵波和横波的指向性函数^[14]分别为：

式中，θ为质点与工件内法线之间的夹角，本文中规定沿逆时针方向的角度为正，顺时针方向的角度为负。k_{l, s}, k_l, k_s分别表示纵波速度除以横波速度、纵波波数、横波波数。取光斑半径0.2mm，信号的中心频率1MHz。与烧蚀机制相对应^[15]，根据(12)式、(13)式可得到热弹机制下铝质工件的纵波声场和横波声场指向性图形，如图 1b及图 1c所示。

综合考虑有限元模拟分析中的计算精度及工作量，根据工件中超声波的最大频率f_max及最小波长λ_min^[16]，时间步长Δt与网格大小Δl分别按以下公式取值:

建立铝质工件的2维有限元模型，尺寸为长×宽为12mm×6mm，取材料表面的吸收率A=0.3，脉冲激光的功率密度I₀=1×10⁷W/cm²，光斑半径r₀=0.2mm，脉冲宽度τ=10ns，并设置对流和换热边界条件。激光辐照至工件表面时，材料吸收激光能量，并转化成热能。热量从工件表面温度较高的部分传递到内部温度较低的部分，属于热传递方式中的热传导形式。图 2a中给出了激光辐照中心及其下方节点的温升曲线，所有节点的温度都呈现先上升再降低的规律。随着在工件中深度的增加，节点的最高温度逐渐降低，温度峰值出现的时间也相应顺延。辐照中心的最高温度为425.13K，明显低于铝的熔点933.15K，验证了激光超声的产生基于热弹机制。

Figure 2.  Node temperature rise curve and sound field snapshot

温度场的变化必然引起位移场的变化，为简便起见，忽略位移场对温度场的影响。采用间接耦合计算方法，将温度场的分析结果作为载荷加载至位移场的求解过程中，为了降低边界反射对信号分析的影响，将除上表面以外的各表面设置为吸收边界条件。图 2b为0.7μs时的声场快照。根据波的声程及传播时间，求出各超声波的速度，进而可确定出各成分的类型。由图 2b可以看出，热弹机制可以激励出纵波、横波、表面波、头波，仿真结果与ING等人^[17]的分析结果相同。另外在工件上表面还存在掠面纵波，由于沿上表面已经传播完毕，图中并未显示出来。与图 1中的指向性图形一致，声场快照中纵波在工件内法线附近声场能量较弱，而烧蚀机制下的纵波声场能量则在工件内法线上达到最强^[18]。

建立含有表面裂纹铝质工件的2维有限元模型，工件尺寸长×宽为12mm×6mm，脉冲激光辐照于上表面的中心位置，在辐照中心左侧3mm处有一个宽0.2mm、深2mm的开口裂纹，如图 3a所示。热传导分析及固体力学分析均按上述边界条件设置，信号接收位置均位于上表面，第一个接收点位于辐照中心右侧1mm处，其余8个接收点的位置依次按照1mm的间距递增。接收点处获得的信号如图 3b所示。从上自下依次对应相对于辐照中心由近到远的接收点信号，首先到达的是掠面纵波，其速度接近6312m/s。表面波的速度^[19]按照2905m/s进行计算，根据各接收点处信号的到达时间反推声程，可知掠面纵波后面的信号为辐照中心直达接收点的表面波信号。表面开口裂纹的反射信号具有较高的峰值，其相位与直达表面波相反，能够被明显观察到，在检测过程中可利用这一特点测量开口裂纹的位置，同时可以利用缺陷回波幅值信息评估近表面裂纹深度。

Figure 3.  The workpiece with the open crack and the time domain signal of surface nodes

各向同性材料中，热弹超声波在工件内部向四周均匀传播，因此, 可定义缺陷的反射系数为缺陷回波幅值与直达波幅值之比。分别对含有不同深度缺陷的工件模型进行分析，其中缺陷深度在0.1mm~3mm范围内以0.1mm递增。设置光斑直径为1mm，其余边界条件同上，此时对应的表面波最大中心频率为1.33MHz^[20]，相应的表面波波长约为2.2mm。图 4a中显示了缺陷深度为1.5mm时，距离缺陷10mm处节点位移在竖直方向上的时间历程曲线。根据上述定义，计算出该缺陷的反射系数为0.33，其它深度的缺陷反射系数如图 4c中实线所示。可以看出反射系数随裂纹深度增加而增加，当裂纹深度在2.2mm以下时，反射系数的增长速率较快，反之变缓。

Figure 4.  Experimental system and data analysis

使用电火花线切割技术在铝质工件上加工宽度为0.2mm，深度在3mm范围内以0.3mm为基准按整数倍递增的矩形裂纹。搭建表面裂纹的激光超声测量系统，如图 4d所示。脉冲激光的波长、脉冲宽度、脉冲能量分别是1064nm, 10ns, 10mJ/pulse，经由聚焦透镜后辐照于工件表面，激光辐照位置和换能器处于表面裂纹的同一侧。在所有表面裂纹测量过程中，激光辐照点和信号接收点分别距离裂纹13mm与66mm。设置光斑直径为1mm，材料表面对激光的吸收率取值为0.3，对应的峰值功率密度为3.82×10⁷W/cm²，低于铝合金的损伤阈值，确保基于热弹机制激励超声波。使用中心频率为1MHz的表面波压电换能器接收超声波信号，并利用示波器显示和存储超声波数据，其标准模式下的触发信号由脉冲激光控制器给出。在实验过程中，亦未观察到工件表面产生烧蚀的现象。

当裂纹深度为1.5mm时，采集到的时域信号如图 4b所示。直达表面波与缺陷回波信号的渡越时间均与测量数据相对应。以直达表面波的幅值为基准，对缺陷回波数据做归一化处理，同时排除了耦合因素引入的干扰，该裂纹对应的反射系数测量值为0.31。其余缺陷的反射系数测量值获取方法同上，如图 4c中的小方块所示。与模拟仿真分析获得的数据基本一致。由于表面波声场能量主要存在于一个波长深度内，所以当缺陷深度大于与表面波最大中心频率对应的波长时，缺陷反射系数的增长由快变缓^[21]。

2维有限元模型的尺寸同上，设置工件上表面辐照中心为坐标原点，内部矩形缺陷左下角顶点的坐标为(-3mm，-4.5mm)，尺寸长×宽为3mm×0.2mm。缺陷沿左下角顶点逆时针旋转20°，仍按照前述边界条件进行模拟计算。图 5a所示为2μs时的声场快照，可在内部缺陷附近观察到明显的反射横波。信号的接收点处于工件上表面辐照中心左侧，图 5b中最上方的信号为辐照中心左侧1mm处节点的时域信号，自上而下为依次远离辐照中心且按照1mm间距递增位置的时域信号，信号的类型根据传播路径和渡越时间计算其传播速度后进行判断。可见，热弹机制下掠面纵波和直达表面波具有较大的幅值。另外，在工件的表面可以接收到内部缺陷明显的反射横波信号，这是由于在切向力偶作用下，横波能量具有较大的占比^[22]，可利用这一特点检测工件中的内部缺陷。

Figure 5.  The workpiece with the internal defect and the time domain signal of surface nodes

讨论了热弹机制下的热传导方程、弹性波的传播方程以及相关的边界条件。建立了工件的2维有限元模型，分析了工件中温度场分布特征和超声波的传播规律，将声场快照中各类型波的分布特点与指向性图形进行了对比。对于含有表面裂纹和内部缺陷的工件，在辐照一侧的表面上设置接收点，根据各接收点的时域信号可知，缺陷反射的超声波信号均比较明显、易于识别。通过有限元分析及实验验证，获得了反射系数随表面裂纹深度增大而增加的关系。并且，当裂纹深度大于表面波最大中心频率对应的波长时，反射系数的增长速率由快变缓。