Modal intensity of partially coherent Airy vortex beams in non-Kolmogorov turbulence

随着通信行业的快速发展，社会对通信速率的要求越来越高，传统的无线电通信不能满足用户的需求。为了弥补数据共享时代数据传输的压力，近些年来，自由空间光通信(free space optical communication, FSO)成为研究的热点，光作为信息传输的载体，具有非常高的可用光带宽，能够实现两个定点间的高速率传输，并且传输距离可达数千米^[1-3]。研究发现，光不仅有自旋角动量，而且涡旋光束中每个光子都携带轨道角动量(orbital angular momentum, OAM)^[4], 轨道角动量可作为信息传输的载体。涡旋光束具有特殊的相位结构和确定的轨道角动量，在无线光通信领域备受关注^[5-7]。由于不同模态的OAM光束相互正交，理论上它的拓扑荷数可以是无限的，构成无穷维希尔伯特空间，具有极高的自由度。因此可以在不增加频谱带宽的情况下，提高信号通道的编码容量^[8-9]。同时OAM的拓扑荷和方位角之间的不确定关系，有利于提高OAM承载信息的安全性^[10]。涡旋光束在光通信方面展现了巨大的潜力^[11-12]，WANG等人通过使用携带轨道角动量的正交的Laguerre-Gaussian模进行四模多路复用和解复用的方法，实现了12.8bit/s/Hz的高频谱效率；BOZINOVIC等人证明了利用光的轨道角动量创建在单个光纤中多路复用且正交，空间上不同的数据传输通道流的可行性，在光纤中采用10个波长的两种OAM模式的同时复用，获得了1.6Tbit/s的传输速率，结果表明，OAM可以为未来光纤网络中的数据复用提供额外的自由度。

大气湍流严重影响了OAM在实际自由空间光通信中的应用^[13-14]。大气的温度和压力的不均性会导致折射率沿传输路径随机变化，从而使OAM光束的相位产生畸变，导致光束的光强闪烁，破坏OAM态的正交性，引起不同OAM态的信道之间的模态串扰，初始的OAM态将被破坏并扩散到邻近态，使轨道角动量携带的信息丢失^[15]。传统的Kolmogorov湍流模型，被广泛用于光束在大气湍流中的传播，并且取得了大量的研究成果^[16-17]。随着湍流测量技术的发展，研究发现大气湍流与Kolmogorov湍流模型的结构存在着差异，Kolmogorov湍流实际上是非Kolmogorov湍流的一个特例。为了得到更准确的实际大气信道传输结果, 降低湍流对光束的影响，国内外学者开展了对涡旋光束在非Kolmogorov湍流中的传输特性的研究^[18-20]。ZHANG等人研究了单光子在倾斜的非Kolmogorov湍流通道中的轨道角动量串扰，结果表明，轨道角动量的串扰概率随着湍流强度、方位角模态指数、轨道角动量量子数的增大而增大。OU等人研究了Bessel-Gaussian光束的螺旋谱在非Kolmogorov湍流中的扩散，发现基于OAM的通信系统的信道容量和螺旋谱随着湍流幂指数变化的趋势一致。TANG等人研究了部分相干Lommel光束在非Kolmogorov湍流中的传输特性，结果发现，部分相干Lommel光束的相干宽度在传输过程中决定了模态强度。

Airy光束具有无衍射、自愈合和自加速的特性，学者们开展了大量有关它的产生、传播和应用等方面的研究^[21-22]。PU等人基于He-Ne激光器光源以及加载相位信息的反射式空间光调制器，从实验上产生了部分相干Airy光束。KE等人从理论上研究了部分相干Airy光束在大气湍流中的光束扩展与漂移。为了了解Airy光束在大气湍流中抗干扰的能力，本文中推导了非Kolmogorov湍流大气中部分相干Airy涡旋光束的模式概率密度(model probability density, MPD)和串扰概率密度(crosstalk probability density, CPD)的表达式。在此基础上，数值模拟了非Kolmogorov湍流大气中部分相干Airy涡旋光束的螺旋谱分布以及MPD和CPD受湍流参量和波数参量的影响，从而获得该光束在自由空间光通信中的最优参量。

在柱坐标系和近轴近似下，Airy涡旋光束的电场解析表达式为^[23-24]：

式中，柱坐标(r, φ, z)分别表示光束的径向位置、角向位置和传输距离; k=2π/λ是波数，λ为波长; w₀与主Airy波瓣的宽度有关，r₀表示主亮环的半径，β为截断指数，l₀是OAM的拓扑荷数; J_l0()表示阶数为l₀的第1类贝塞尔函数。

基于拓展的惠更斯-菲涅耳原理，当传输距离为z时，部分相干Airy涡旋光束的交叉谱密度函数可以表示为^[25-26]：

式中，ρ₁≈(r, φ)和ρ₂≈(r′, φ′)为两个位于输出面的任意横向位置矢量，ρ₁′和ρ₂′为两个位于源平面的任意横向位置矢量; W(ρ₁′, ρ₂′, 0)是部分相干Airy涡旋光束在源平面的交叉谱密度函数; 〈〉为系综平均，*表示复共轭，ψ表示球面波在湍流中由源平面传输到输出面时复相位的随机项。

利用Rytov近似，部分相干Airy涡旋光束在输出面的交叉谱密度函数可以表示为^[27]：

式中，μ(ρ₁, ρ₂)是光谱的相干度，它的高斯形式可以表示为^[28]：

式中，σ₀是光束源的空间相干宽度。

(3) 式最后一项为大气湍流引起的相位波动，可以表示为^[29]：

式中，0阶贝塞尔函数J₀可以近似为^[30]：

式中，κ为2维空间频率；Φ_n(κ, α)是湍流介质的折射率起伏有效功率谱函数；ξ是归一化距离变量，ξ=1-z/L，L为沿z轴从发射机的发射孔到接收机的传输距离。

根据非Kolmogorov湍流理论，受湍流的内外尺度效应的影响，湍流有效功率谱可以表示为：

式中，α是湍流谱幂指数，C_n²是单位为m^3－α的湍流折射率起伏结构常数。

式中，Γ()为伽马函数。

式中，κ_n=c(α)/n₀, κ_m=8π/m₀分别表示湍流涡流内尺度和外尺度对应的空间频率, n₀和m₀分别为湍流内尺度和外尺度。

${\kappa _x} = \sqrt {k{\eta _x}/z} , \;{\kappa _y} = \sqrt {k{\eta _y}/z} $分别是大尺度和小尺度滤波函数的空间截止频率。

参量η_x, η_y可以表示为^[31]：

基于Rytov相位结构函数的二次项近似，(5)式可以表示为^[32]：

式中, ρ₀为球面波在非Kolmogorov湍流中的空间相干长度，形式可以表示为：

当部分相干Airy涡旋光束在大气湍流中传播时，受到大气折射率起伏变化的影响，湍流引起的累积效应假定为OAM光束的相位扰动，导致涡旋模式偏离了OAM的原始本征态。携带轨道角动量的部分相干Airy涡旋光束的复振幅表达式为：

为了获得新的涡旋模式分量的权值，将部分相干Airy涡旋光束分解为携带相位因子exp(ilφ)螺旋谐波的叠加^[33]：

式中，l是基于螺旋谱理论分解后的拓扑荷数。

展开系数:

携带轨道角动量的部分相干Airy涡旋光束通过大气湍流在(r, z)位置的模式强度概率密度可以用|ω_l(r, z)|²的系综平均表示：

结合(1)式、(4)式、(14)式，部分相干Airy涡旋光束在非Kolmogorov湍流中传播的模式强度概率密度的表达式：

根据积分表达式:

可得：

式中，I_l和I_l－l0分别表示阶数为l和l－l₀的第1类修正贝塞尔函数。假设l－l₀=Δl，则(22)式可写成

当Δl=0时，即在接收平面上探测到的光子的OAM模式等于发射的光子的OAM模式，〈|ω_Δl=0(r, z)|²〉表示部分相干Airy涡旋光束的MPD；当Δl≠0时，即接收到的OAM模式与发射的OAM模式不相等，说明光束在大气湍流中传播时，涡旋光束的螺旋谱被分散，无法保持其本征态，跃迁到相邻的轨道角动量模式上，〈|ω_Δl≠0(r, z)|²〉表示CPD^[34]。

对于直径为D的有限孔径接收机, 涡旋模式的螺旋频谱分布可以表示为：

根据部分相干Airy涡旋光束的涡旋模式的螺旋频谱分布公式(24)式, 采用数值模拟方法对不同光束参量和湍流条件下的螺旋谱分布、模式概率密度和串扰概率密度进行了分析。除非另有规定，否则仿真中使用的参量设置为: λ=1550nm，w₀=0.01m，r₀=0.001m，β=0.05，α=3.67，σ₀=0.03m，n₀=0.001m，m₀=1m，D=0.02m，l₀=1，z=1km，C_n²=10^－13m^3－α，Δl=1。

在由弱到强的非Kolmogorov湍流中，不同相干宽度的Airy涡旋光束的螺旋谱分布如图 1所示。反映了湍流造成能量从初始OAM本征态向其它本征态迁移。当湍流较弱时，串扰主要发生在相邻模式之间，相对于强湍流而言可以忽略不计，在强湍流条件下，串扰强度迅速增加，并且向更多边缘模态传播，造成误比特率显著提高。通过纵向对比发现，随着相干宽度的增加，模式概率逐渐增加，串扰概率逐渐减小，空间相干宽度对部分相干Airy涡旋光束的模态强度变化有较大的影响。理论上部分相干Airy涡旋光束受湍流的影响要小于完全相干Airy涡旋光束，但是当相干宽度较小时，相干性较差的部分相干Airy涡旋光束在非Kolmogorov湍流中传播时会更加容易丢失信号通道中的信息，选择合适的相干宽度将有利于部分相干Airy涡旋光束在非Kolmogorov湍流中的传播。

Figure 1.  The spiral spectrum distribution of partially coherent Airy vortex beam

从图 2a可以看出，随着传播距离的增加, 串扰概率密度逐渐增加并趋于稳定值，Δl越小，串扰概率密度增长得越快，这是因为在强湍流中，串扰对邻近模态的影响较大，并逐渐扩散至其它模态。另外也反映了能量集中在光束的中心，所以靠近主瓣的旁瓣的能量高于其它旁瓣。在图 2b和图 2c中，当z增大，MPD呈急剧下降的趋势，最终达到稳定状态；CPD迅速上升，达到最大值后有一个下降的过程并趋于稳定。拓扑荷数越大，受湍流影响也越大，拓扑荷数相对于其它因数对模态强度影响较小，可以忽略不计。

Figure 2.  a—CPD of partially coherent Airy vortex beam with different Δl b, c—MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different l₀

图 3主要反映了接收机的直径对部分相干Airy涡旋光束的MPD和CPD的影响。从图中可以直接看出，光束沿着z方向传播时，随着接收机的直径的增大，MPD下降得越快，相对的，CPD上升得也越快，在达到最大值后趋于平稳。选取合适的接收机的直径可以有效地减弱湍流的影响，提高光束的传输性能，当接收机的直径较大时，只适合短距离的传播。

Figure 3.  MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different size of the receiving aperture D

由图 4可见，随着传播距离的增加，部分相干Airy涡旋光束在弱湍流中相对于强湍流而言，MPD下降得较为缓慢，CPD单调增加，这是由于强湍流引起的累积效应迅速增加造成的。在远场中，强湍流下的MPD逐渐平稳，CPD也相对的平缓并有减小的趋势，造成这种现象是因为高阶串扰的增强减小了Δl=1时CPD的权重。提高MPD以增强OAM多路复用通信的性能并减轻湍流的影响，这对长距离传输具有积极作用。

Figure 4.  MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different turbulence strength

在图 5中，相干性较好的部分相干Airy涡旋光束的MPD下降得比较快，相干性差的部分相干Airy涡旋光束的MPD下降趋势较平缓，这是因为相干性差会导致部分相干Airy涡旋光束的初始模态强度严重色散，从而抑制了能量向边缘扩散。相干性较好的部分相干Airy涡旋光束的CPD迅速增加，在达到最大值后有一个减小的趋势，相干性差的部分相干Airy涡旋光束的CPD只有略微上升便开始下降，这说明选择合适的空间相干宽度对部分相干Airy涡旋光束的传输性能的提高至关重要。

Figure 5.  MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different spatial coherence width

图 6中分析了光束波长对部分相干Airy涡旋光束的MPD和CPD的影响。随着湍流的增强，各个波长的部分相干Airy涡旋光束的MPD都呈下降的趋势，其中长波长的光束比短波长的光束下降得更加缓慢。相对的，短波长的部分相干Airy涡旋光束的CPD在由弱到强的湍流中迅速上升并达到最大值，随着湍流逐渐变强，又开始平缓下降，这是高阶串扰的增强所导致的。长波长的部分相干Airy涡旋光束的CPD逐渐增加并最终保持稳定，这说明长波长的部分相干Airy涡旋光束对湍流的敏感性较低，受影响的概率更小，更加适合在大气湍流中传播。

Figure 6.  MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different wavelength

从图 7中可以看出，随着湍流强度的增大，α越大，部分相干Airy涡旋光束的MPD下降得越少。这是因为α直接影响了湍流中的旋涡数量，α越大，旋涡越少，光束的闪烁效应越弱。同时，α越小，部分相干Airy涡旋光束的CPD随着湍流强度的增大迅速上升至最大值又快速下降，这说明湍流的折射率起伏较大，严重影响了部分相干Airy涡旋光束的通信性能，合适的α有利于减小串扰，提高传输质量。

Figure 7.  MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different values of non-Kolmogorov spectrum parameter

图 8表明，随着湍流强度的增加，部分相干Airy涡旋光束的主亮环半径越大，MPD下降得越缓慢，相对的，部分相干Airy涡旋光束的主亮环半径越小，CPD上升得越快，并在达到峰值后有略微下降。在强湍流中，不同主亮环半径的部分相干Airy涡旋光束的CPD基本一致。通过比较发现，主亮环半径较大的部分相干Airy涡旋光束在非Kolmogorov湍流中传播的性能更好。

Figure 8.  MPD and CPD of partially coherent Airy vortex beam with different main ring radius

分析了携带轨道角动量的部分相干Airy涡旋光束在非Kolmogorov大气湍流中传播时，光束参量和湍流参量对轨道角动量模的模式概率密度(MPD)和串扰概率密度(CPD)的影响。不仅考虑了源光源的相干性、拓扑荷数、波长和主亮环半径与轨道角动量模式之间的密切联系，还讨论了湍流强度、湍流谱幂指数和接收机直径对传输性能的影响。研究表明，拓扑荷数越大，抗干扰能力越弱；长波长的部分相干Airy涡旋光束的模态强度受湍流的影响较小；主亮环半径较大的部分相干Airy涡旋光束更适合在湍流中传播；接收机的直径越大，MPD越小，当接收机直径到达一定值时，对轨道角动量的串扰影响较小，上述结果与参考文献及参考文献中的结论相一致。此外，空间相干宽度决定了部分相干Airy涡旋光束模态强度的色散；轨道角动量的串扰随着湍流强度的增强而增大；较大的湍流幂指数有助于减小CPD。本文中得到的理论结果对OAM在空间光通信中的应用具有一定的参考价值。