Research on equalization performance of blind equalization algorithms in mode-division multiplexing system

随着5G、大数据和云计算等现代技术的快速发展^[1]，全球互联网流量正在急速增长。由于传统单模光纤的非线性效应，其系统容量已达到香农极限^[2]，不能应对目前的“容量危机”，因此必须寻找新的复用维度，即空间维度。空分复用在光纤领域的主要实现技术方法有两种，即基于多芯光纤的空分复用技术^[3-4]和基于少模光纤的模分复用技术^[5-6]。基于少模光纤的模分复用技术可以极大地扩展通信容量，但同时传输过程中会出现模式耦合、差分模式群时延(differential mode group delay，DMGD)、色散等问题，从而影响接收数据的准确性^[7-8]。将无线领域的多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)均衡^[9-10]思想引入光纤领域，可以有效解决这一问题。常用的MIMO均衡算法有递推最小二乘法(recursive least square，RLS)算法、最小均方(least mean square，LMS)算法和恒模算法(constant modulus algorithm，CMA)，RLS和LMS是非盲均衡算法，需要训练序列，而CMA是盲均衡算法，不需要训练序列。CMA根据发送信号的统计量就可迭代更新均衡器的抽头系数，实现信号的恢复，这是它的一大优势。CMA被广泛应用于恒模信号^[11]，效率高、实时性好、具有良好的收敛性^[12]。

目前已有大量的工作研究CMA算法在各类系统中的应用。例如，ZHANG等人^[13]在典型的电话信道上研究比较CMA和变步长CMA的性能，变步长CMA能较好地平衡收敛速度和剩余误差。XUE等人^[14]在无线信道上比较CMA和修正的恒定模数算法(modified constant modulus algorithm，MCMA)的均衡效果，结果表明，MCMA可以加快收敛速度。QIN等人^[15]研究CMA对100 Gbit/s双偏振正交相移键控(dual-polarization quadrature phase shift keying，DP-QPSK)光信号传输系统中色散的补偿作用，证明该算法具有良好的收敛性能和收敛速度。JIN等人^[16]建立2×2的弱耦合少模复用系统，并利用频域CMA和MCMA算法进行均衡，结果表明，频域CMA和MCMA算法均适用于模分复用系统的均衡，并且频域MCMA的均衡性能优于频域CMA。不同于参考文献[16]，本文中采用强耦合6模复用系统，发送端模式数增加，需要将时域CMA和MCMA算法扩展为12×12的MIMO结构，另外由于相同滤波器权值和迭代步长下，强耦合使算法收敛难度增大，因此, 需要利用传输参数对均衡滤波器进行粗略初始化，并重新调整滤波器权值和迭代步长。

本文作者采用具有强模式耦合的3模光纤作为传输通道。在考虑色散、群延迟和模式串扰的前提下，研究在模分复用系统中CMA和MCMA对输出信号均衡性能的影响，其中传输信号由3个双偏振的正交相移键控信号组成，光纤通道为3模光纤。

经过CMA均衡后的输出信号可能存在一定的相位误差，单独使用时，需要加入相位恢复模块。MCMA可以修正CMA造成的相位旋转，同时能在误比特率方面得到一定改善。本文作者在基于强耦合少模光纤的模分复用系统中比较了CMA和MCMA的均衡效果。接下来分别对两种算法的原理进行介绍。

CMA的基本思想^[17]如下：恒模信号通过理想光纤信道传输后仍具有恒模特性，但实际的光纤信道存在损耗、色散等损伤，需要使用算法更新均衡器的抽头系数，使信号重新具有恒模特性。

图 1所示是CMA的示意图^[18]。图中，x(n)表示发送信号，h(n)表示传输信道的脉冲响应，n(n)表示加性高斯白噪声，y(n)表示经过信道传输后的接收信号，即均衡器的输入信号，w(n)表示均衡器的抽头系数，z(n)表示均衡器的输出信号，(n)表示判决器的输出信号。

Figure 1.  Diagram of CMA^[18]

CMA的代价函数为^[19]：

式中：E[·]是期望函数；R₂为CMA模值，是一个常数。R₂可表示为：

由式(1)可知，代价函数只包含了接收信号的幅度信息，没有包含相位信息。因此，发送信号通过复数信道后会出现相位偏移。

误差函数表示为：

根据梯度下降法，可得均衡器w(n)的权向量迭代过程如下：

式中：μ表示迭代步长; y^*(n)表示对y(n)进行共轭运算。CMA的迭代步长μ是常数，其大小决定算法的收敛速度。

MCMA算法的原理是把式(1)的代价函数的实虚部分开，再分别计算^[20]：

其中：

式中：Re(·)和Im(·)分别表示实部、虚部。Re(R₂)、Im(R₂)可以表示为：

误差函数定义如下：

MCMA的代价函数同时包含信号的幅度和相位信息，能够有效修正信号经过复信道后引起的相位旋转。

收敛速度和均方误差(mean square error，MSE)是盲均衡算法的两个主要性能指标^[21]，这两个指标都可以从MSE曲线得到。通常情况下，MSE被定义为期望数据和均衡后数据对应点误差的平方和的均值，用σ表示，表达式如下：

在CMA和MCMA算法中，σ(n)一般定义为e(n)。

为了分析CMA和MCMA的性能，利用VPI仿真软件，基于功率耦合理论搭建了一个3模模分复用系统，系统结构如图 2所示。在仿真中，6×56 Gbit/s的DP-QPSK信号通过模式复用器在具有LP₀₁、LP_{11, a}和LP_{11, b}光纤模式的3模光纤中传输，3种模式之间只发生强耦合。该系统的传输距离为80 km，光信号在传输过程中还受到色度色散、偏振模色散和模式群时延的影响，具体参数值如表 1所示。最后，信号经过一个放大器和一个模式解复用器，接收机得到受损信号。在本次仿真中，激光器线宽被设置为100 kHz。

Figure 2.  Mode-division multiplexing system model based on few-mode fiber

对于传输后的受损信号需要进行一系列数字信号处理(digital signal processing，DSP)，才能恢复原始信号，主要包括模数转换(analog-to-digital converter，ADC)、色散补偿(CD compensation)、MIMO均衡和载波相位估计(carrier phase estimation)。DSP的实现流程如图 3所示。其中，MIMO均衡是本文中的研究重点。

Figure 3.  Flow chart of DSP

CMA对接收端的受损信号进行均衡补偿，其中传输信号为DP-QPSK信号，光信噪比(optical signal-to-noise ratio，OSNR)为20 dB。算法的稳态误差大小和收敛速度快慢受迭代步长的影响。图 4所示是选择不同迭代步长时CMA的MSE曲线。其中均衡器的长度为122，迭代步长分别为0.0007、0.0005和0.0001。为方便起见，这里只显示LP_{01, x}的MSE曲线。

Figure 4.  Convergence curves of CMA for different iteration steps

由图 4可知，当迭代步长较大时，收敛速度较快，但稳态误差也较大; 当迭代步长较小时，稳态误差小，但收敛速度也较慢。因此，在选择迭代步长时，需要在收敛速度和稳态误差之间权衡。

图 5所示是使用CMA均衡前后的信号星座图的比较结果。基于上述分析，步长选择为0.0005，均衡器的长度为122。

Figure 5.  Signal constellation diagram

图 5a描述了均衡前的接收信号的星座图。在色散、模式耦合和模式时延的影响下，6个信号都出现了严重的振幅和相位失真，信号星座点分散，信息无法被有效传输。图 5b显示了CMA均衡后信号的星座图。与图 5a相比，CMA成功恢复了模式信号。计算了星座图的色散程度，即计算4个相位状态中每个相位的均方根误差(root mean square error，RMSE)，结果如图 6所示。图 6中的数值表明，RMSE值都接近0.2，低于最大值2，可以判断6路模式信号的RMSE值很小，说明数据比较集中。

Figure 6.  RMSE values for different modes

下面将MCMA的均衡性能与CMA的均衡性能进行比较，其中传输信号为DP-QPSK信号，OSNR为19 dB，选择的步长为0.0005，均衡器的长度为122。

图 7所示是分别使用CMA和MCMA均衡后的MSE收敛曲线。比较结果可知，使用MCMA均衡产生的稳态误差较小。为方便起见，只显示LP_{11, a, y}的MSE曲线。

Figure 7.  Comparison of CMA and MCMA convergence performance

图 8a所示是使用CMA均衡后的信号星座图，可以看出，信号基本恢复，但仍有大量散点。图 8b所示是使用MCMA均衡后的信号星座图，比较可知，星座图散点减少，信号恢复更理想。

Figure 8.  Constellation diagrams after equalization

接下来，继续用RMSE来衡量CMA和MCMA均衡后的星座图的离散程度，如图 9所示。比较图 9a和图 9b可以看出，MCMA均衡后的信号的离散程度比CMA均衡后的信号低，数据更集中。

Figure 9.  RMSE values for different modes after CMA, MCMA equalization

图 10所示是CMA和MCMA分别用于均衡时，误比特率(bit error rate，BER)随OSNR的变化曲线。在相同的OSNR下，MCMA在误比特率方面优于CMA；对于10^-3的误比特率，CMA需要17.5 dB，MCMA需要16.6 dB，即MCMA比CMA提高了0.9 dB。

Figure 10.  Average BER vs. OSNR at 80 km transmission distance

当传输距离增加到120 km，对CMA和MCMA均衡性能进行了比较，如图 11所示。随着传输距离的增加，系统误比特率随之增大，但与CMA相比，MCMA仍能提高系统性能。对于10^-3的误比特率，CMA需要18.6 dB，而MCMA需要17.6 dB，即MCMA与CMA相比有1.0 dB的改善。

Figure 11.  Average BER vs. OSNR at 120 km transmission distance

DMGD的大小会影响模分复用系统的信号传输质量。当选定传输距离为100 km，比较了DMGD长度对性能的影响，如图 12所示。随着DMGD从130 ps/km增加到260 ps/km，系统性能有所下降，但MCMA在误比特率方面仍然优于CMA。这表明在DMGD方面，MCMA比CMA有更好的均衡性能。

Figure 12.  Average BER vs. OSNR at 100 km transmission distance

利用VPI仿真平台建立强耦合6×6模分复用系统并传输DP-QPSK信号，在接收端应用CMA和MCMA算法对信号进行均衡，通过增加传输距离和DMGD，比较了CMA和MCMA的均衡效果。结果表明，MCMA的均衡效果优于CMA，主要体现在收敛曲线、RMSE和误比特率方面。与CMA相比，MCMA可以得到较小的稳态误差和较小的RMSE值。此外，对于10^-3的误比特率，MCMA与CMA相比表现出约1.0 dB的改善。研究结果还表明，在长距离模分复用系统中，CMA是一种有效的对抗强模式耦合的均衡算法，而MCMA的均衡效果优于CMA。