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M阶APSK(M-APSK)调制方式的星座图通常由多个同心圆组成,每个同心圆上均匀分布着多个量子态,这些量子态构成的信号集可以表示为:
$ C_k=R_k \exp \left[\mathrm{j}\left(\frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}{n_k} i_k+\theta_k\right)\right] $
(1) 式中: Rk为第k个同心圆的半径; 2πik/nk+θk表示相空间中量子态的相位; nk为第k个同心圆上的量子态数, n1+n2+…+nk=M; θk为第k个同心圆上的量子态的初始相位; ik(ik=0, 1, …, nk-1)为第k个同心圆上的一个量子态。
本文中考虑了{16, 32, 64, 128}阶APSK调制的星座点,如表 1所示; 绘制了16-APSK和32-APSK编码的CVQKD在相空间的示意图,如图 1所示。
表 1 APSK调制类型的星座点
Table 1. Constellation points for APSK modulation types
constellation points of 16-APSK, 32-APSK, 64-APSK, and 128-APSK $C_k \in R_k \exp \left[\mathrm{j}\left(\frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}{n_k} i_k+\theta_k\right)\right], $ $\left\{{array}{l} k \in[1, 2], n_k \in[4, 12], i_k \in[0, \cdots, 11], \text { if } M=16 \\ k \in[1, 2, 3], n_k \in[4, 12, 16], i_k \in[0, \cdots, 15], \text { if } M=32 \\ k \in[1, 2, 3, 4], n_k \in[4, 12, 16, 32], i_k \in[0, \cdots, 31], \text { if } M=64 \\ k \in[1, 2, 3, 4, 5], n_k \in[4, 12, 16, 32, 64], i_k \in[0, \cdots, 63], \text { if } M=128 {array}\right.$ -
在CVQKD系统中,发送方Alice和接收方Bob的设备是可信的, 并且不被潜在的窃听者Eve所操控[10],它们之间获得的密钥速率K为:
$ K=\frac{m}{W}\left(\beta I_{\mathrm{BA}}-\chi_{\mathrm{BE}}-\Delta m\right) $
(2) 式中: m为用于信息协调的数据量; W为量子信道中传输的总量子态数,此处考虑参数估计的数据,将m/W设置为1/2;β为反向协调的协调效率; IBA为Bob和Alice之间的互信息[11]; χBE为Bob和Eve互信息的Holevo界; Δm为与隐私放大安全相关的参数。假定Bob使用外差探测同时测量Alice发送的两个正交分量,则互信息IBA可由下式计算:
$ I_{\mathrm{BA}}=\operatorname{lb}\left(1+\frac{S}{N}\right)=\operatorname{lb}\left(1+\frac{2 T \eta\langle n\rangle}{2+T \eta \xi+2 \xi_{\mathrm{th}}}\right) $
(3) 式中: S/N为信噪比; 〈n〉是每个符号的平均光子数; T为信道传输率; ξ为过量噪声; ξth为检测系统的热噪声; η为光电二极管的检测效率。
在集体攻击下,Bob和Eve互信息的Holevo界[12],即χBE可由下式给出:
$ \chi_{\mathrm{BE}}=\sum\limits_{a=1}^2 G\left(\frac{\mu_a-1}{2}\right)-\sum\limits_{a=3}^5 G\left(\frac{\mu_a-1}{2}\right) $
(4) 其中,
$ G(x)=(x+1) \operatorname{lb}(x+1)-x \operatorname{lb} x $
(5) 式中: a=1, 2时, μa为描述Alice和Bob共享状态的协方差矩阵γAB的辛特征值; a=3, 4, 5时, μa为Bob的投影测量的协方差矩阵的辛特征值[13],即:
$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\gamma}_{\mathrm{AB}}=\left[\begin{array}{cc} V \boldsymbol{I} & \sqrt{T} Z \boldsymbol{\sigma}_z \\ \sqrt{T} Z \boldsymbol{\sigma}_z & T\left(V+\chi_{\text {line }}\right) \boldsymbol{I} \end{array}\right] \\ \boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ \boldsymbol{\sigma}_z=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] \end{array}\right. $
(6) $ \mu_a=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{\frac{1}{2}\left(\varDelta \pm \sqrt{\varDelta^2-4 D}\right)}, (a=1, 2) \\ \sqrt{\frac{1}{2}\left(A \pm \sqrt{A^2-4 B}\right)}, (a=3, 4) \\ 1, (a=5) \end{array}\right. $
(7) $ \left\{\begin{array}{l} \varDelta=V^2+T^2\left(V+\chi_{\text {line }}\right)^2-2 T Z^2 \\ D=T^2\left(V^2+V X_{\text {line }}-Z^2\right)^2 \end{array}\right. $
(8) 在接收端Bob执行外差探测,即:
$ \begin{gathered} A= \\ \frac{\chi_{\text {hom }}{ }^2 \varDelta+D+1+2 \chi_{\text {hom }}\left[V \sqrt{D}+T\left(V+\chi_{\text {line }}\right)+2 T Z\right]}{T^2\left(V+\chi_{\text {tot }}\right)^2} \end{gathered} $
(9) $ B=\left[\frac{V+\sqrt{D} \chi_{\text {het }}}{T\left(V+\chi_{\text {tot }}\right)}\right]^2 $
(10) 式中: χline=1/T-1+ξ为通道输入有关的量子信道过量噪声; χhet=[1+(1-η)+2υEN]/η为Bob外差检测输入相关的检测附加噪声; χhom=[(1-η)+υEN]/η为Bob零差检测输入相关的检测附加噪声; 信道输入端的等效总噪声则可以表示为χtot=χline+χhet/T; υEN为实际探测器电子器件产生的热噪声; V=VA+1, 且VA是发送方Alice的调制方差; 此外Z为Alice和Bob的相关性常数。
Δm是与隐私放大安全相关的参数(由于有限码长效应)[14],由于Alice和Bob之间只共享有限数量的W个量子态,因此在安全性分析中,必须考虑有限码长效应导致的影响。有限码长效应降低了Alice和Bob对信道传输率和过量噪声的估计精度[15]。假设原始密钥以比特编码,则有限码长效应可以通过参数Δm表示,即:
$ \Delta m=7 \sqrt{\frac{\operatorname{lb}\left(\frac{2}{\varepsilon}\right)}{m}}+\frac{2}{m} \mathrm{lb}\left(\frac{1}{\varepsilon_{\mathrm{PA}}}\right) $
(11) 式中: ε是平滑参数; εPA是隐私放大过程失败的概率。
假定量子信道为线性信道,参数估计步骤需要通过分别考虑Alice和Bob的数据x和y之间的线性模型来估计信道传输率和过量噪声[16]。在使用外差探测时,Alice和Bob的数据遵循标准线性模型y=tx+z,其中参数$t=\sqrt{T \eta / 2}$,z服从方差为σ2=ηTξ/2+1+ξth的正态分布,探测系统的热噪声ξth可在校准阶段测量。因为估计的好坏取决于参数估计步骤中考虑的状态数W-m,因此必须在有限尺寸效应中考虑,计算概率至少为1-εPE的密钥率的下限。密钥速率的下界由t下界tmin和σ2的上界σmax2计算,但概率为εPE/2的情况除外,由下式给出:
$ t_{\min } \approx \sqrt{\frac{T \eta}{2}}-z_{\varepsilon_{\mathrm{PE}} / 2} \sqrt{\frac{\frac{\eta T}{2} \xi+1+\xi_{\mathrm{th}}}{2(W-m)(2\langle n\rangle)}} $
(12) $ \begin{gathered} \sigma_{\max }^2 \approx \frac{\eta T}{2} \xi+1+\xi_{\mathrm{th}}+ \\ z_{\varepsilon_{\mathrm{PE}} / 2} \frac{\left(\frac{\eta T}{2} \xi+1+\xi_{\mathrm{th}}\right) \sqrt{2}}{\sqrt{2(W-m)}} \end{gathered} $
(13) 式中: zεPE/2是标准正态分布的100(1-εPE/2)百分位数,置信区间为(1-εPE)×100%,并且使得$1-\operatorname{erf}\left(z_{\varepsilon_{\mathrm{PE}} / 2} /\sqrt{2}\right)=\varepsilon_{\mathrm{PE}} / 2$,其中$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_0^x \exp \left(-t^2\right) \mathrm{d} t$是误差函数[17]; 2(W-m)中的2表示的是对于外差检测,两个正交分量都被测量,并在参数估计步骤中独立处理。最后,可以计算密钥速率的下限,除了概率为εPE/2之外,考虑信道传输率的最小值Tmin,Tmin=2tmin2/η,以及过量噪声的最大值$\xi_{\max }=\left[2 /\left(\eta T_{\min }\right)\right]\left(\sigma_{\max }^2-1-\xi_{\mathrm{th}}\right)$,下文中所有考虑有限码长效应的密钥速率都是通过Tmin和ξmax计算的。
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GMM是一种参数概率密度函数,表示为高斯分量密度的加权和,使用期望最大化(expectation-maximum,EM)算法估计高斯参数[18]。采用GMM的基本假设是所有样本都来自l个高斯分布的混合,每一个调制符号都是一个单独的高斯分布。使用EM算法,可以基于高斯潜在分量对样本进行聚类,该算法能够确定每个量子态的类别。
高斯混合模型,即:
$ p(x)=\sum\limits_{j=1}^l w_j \times g\left(x \mid \mu_j, \varSigma_j\right) $
(14) 式中: wj>0是第j个高斯分量的权重,且$\sum\limits_{j=1}^l w_j=1$; $g\left(x \mid \mu_j, \varSigma_j\right)$是均值为μ和方差为Σ的高斯分量密度函数,即:
$ \begin{gathered} g\left(x \mid \mu_j, \varSigma_j\right)=\frac{1}{\sqrt{(2 {\rm{ \mathsf{ π} }})^n\left|\varSigma_j\right|}} \times \\ \exp \left[-\frac{1}{2}\left(x-\mu_j\right)^{\mathrm{T}} \varSigma_j^{-1}\left(x-\mu_j\right)\right] \end{gathered} $
(15) 该算法的目的是找到参数$\lambda=\left\{w_1, \cdots, w_{l-1}; \mu_1, \cdots, \mu_l; \varSigma_1, \cdots, \varSigma_l\right\}$,使其对数似然最大化。
EM算法是一种迭代优化策略,是概率模型依赖隐含变量寻找参数最大似然估计或者最大后验概率的算法[19]。它的计算方法中每一次迭代都分两步: 第1步为期望步,利用隐含变量计算其最大似然估计值; 第2步为极大步,通过一系列的参数使得似然不断地增加,即此次的似然高于上一次迭代产生的似然,通过上一步求得的最大似然值来计算参数,此过程反复迭代,直到收敛完成训练。
(a) E-step计算每个样本对高斯分量的隶属度的后验概率:
$ t_l\left(x_i\right)=\frac{w_j g\left(x_i \mid \mu_j, \varSigma_j\right)}{\sum\limits_{j=1}^l w_j \times g\left(x_i \mid \mu_j, \varSigma_j\right)} $
(16) 式中: xi是第i个数据点。
(b) M-step应用最大似然估计来更新均值,协方差矩阵和混合比例,使用步骤(a)中获得的后验概率,即:
$ L\left(\lambda \mid x_1, \cdots, x_m\right)=\prod\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^l w_j \times g\left(x_i \mid \mu_j, \varSigma_j\right) $
(17) 式中:(λ|x1, …, xm)是某一个数据点。
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在多环M-APSK编码的CVQKD协议中,Alice制备量子态,通过不完美信道传输,因信道传输过程中存在损耗及其电子探测器噪声的影响,导致传输态会有相位漂移和能量衰减,以一定在概率分布在相空间,如图 2所示。16-APSK调制相干态经过100 km的量子信道传输后在相空间的表示,调制方差为0.35,接收端Bob执行外差探测[20],传输态与初始的调制量子态的不再相同,为提高系统的检测效率,本文作者提出在系统接收端添加基于最小欧氏距离的高斯混合模型算法的量子态分类器。
图 2 16-APSK调制相干态经过量子信道传输在相空间的分布
Figure 2. Distribution of 16-APSK modulated coherent states in phase space through quantum channel transmission
为了构造一个性能良好的分类器,将本文中提出的方案分为两个部分: 状态学习和状态预测,如图 3所示。状态学习阶段主要用于训练和评估分类器,由发送方Alice制备已知类别量子态,并通过不可信的量子传输信道发送给Bob,同时通过辅助信道将已知类别量子态的相关信息发送到接收端,对接收到的量子态Bob执行外差探测和特征提取,为提高接收端Bob对量子态的检测效率,为每一个相干态构造一组距离特征:
$ \delta_{\min }=\min\limits_{x, x^{\prime} \in X, x \neq x^{\prime}}\left|x-x^{\prime}\right|^2 $
(18) 根据式(1),M-APSK调制相干态x, x′∈X可由极坐标幅度(半径)与相位的形式(Rk, 2πik/nk+θk)转为直角坐标的形式(xk, yk),x′为参考态,X为调制相干态的信号态集,ik为第k个同心圈圆周上的第i(i=0, 1, …, nk-1)个量子态,即:
$ \left\{\begin{array}{l} x_{i_k}=R_k \cos \left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} \frac{i_k}{n_k}+\theta_k\right) \\ y_{i_k}=R_k \sin \left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} \frac{i_k}{n_k}+\theta_k\right) \end{array}\right. $
(19) 由式(18)可得:
$ \delta_{\min }{ }^2=\min\limits_{x, x^{\prime} \in X, x \neq x^{\prime}}\left[\left(x_{i_k}-x_{i_k}{ }^{\prime}\right)^2+\left(y_{i_k}-y_{i_k}{ }^{\prime}\right)^2\right] $
(20) 16-APSK调制相干态的特征提取如图 4所示。橙色表示未知量子态,蓝色表示虚拟的参考态,即理想条件下的调制状态初始值。Bob接收传输的相干态并提取一组距离特征后,即通过判断可得到传输态与参考态之间的最小欧氏距离δmin,因此可识别出该信号态所属类别1。
在提取出鲁棒性特征后用作状态学习分类器的输入数据,$Y=\left\{y_1, y_2, \cdots, y_l\right\}$是包含l个类别的标签空间,训练集为$U=\left\{\left(x_i, y_j\right) \mid 1 \leqslant i \leqslant m\right\}$,其中xi∈X是d维属性向量(xi1, xi2, …, xid)T, yj⊆Y是xi所属的一个类别(1≤j≤l)。状态学习阶段的目的是找到一个分类器函数h(·),给定一个阈值函数t: X→R, 使得$h(x)=\{y \mid f(x, y)>t(x), y \in Y\}$。
若$|x\rangle$表示未分类相干态,Cj计算是$|x\rangle$属于第j类yj(1≤j≤l):
$ C_j=\sum\limits_{\left(\left|x^*\right\rangle, Y^*\right) \in N(|x\rangle)}\left(y_j \in Y^*\right) $
(21) 式中: $\left(\left|x^*\right\rangle, Y^*\right)$表示训练集中已知类别的相干态。假设Hj表示相干态$|x\rangle$的类别为yj,则P(Hj|Cj)表示后验概率在Cj属于类别yj的条件下Hj为真,P(Hj|Cj)为后验概率在Cj属于类别yj的条件下Hj为假,让f($|x\rangle$, yj)=P(Hj|Cj)/P(Hj|Cj),则基于GMM的幅度相位联合编码CVQKD协议分类器为:
$ \begin{aligned} h(|x\rangle)=y_j & \left\lvert\, \frac{P\left(H_j \mid C_j\right)}{P\left(\bar{H}_j \mid C_j\right)}>t(|x\rangle)\right., \\ & (1 \leqslant j \leqslant l) \end{aligned} $
(22) 当P(Hj|Cj)后验概率大于t($|x\rangle$)·P(Hj|Cj)时, 未知类别的相干态$|x\rangle$属于yj类。
根据贝叶斯定理可得到:
$ f\left(|x\rangle, y_j\right)=\frac{P\left(H_j \mid C_j\right)}{P\left(\bar{H}_j \mid C_j\right)}=\frac{P\left(H_j\right) \cdot P\left(C_j \mid H_j\right)}{P\left(\bar{H}_j\right) \cdot P\left(C_j \mid \bar{H}_j\right)} $
(23) 式中: P(Hj)和P(Hj)分别表示Hj为真或假的先验概率; P(CjHj)和P(Cjj)分别代表事件Hj为真或假的条件下Cj属于类别yj的条件概率。
图 5中表示了不同M-APSK调制格式下信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)对系统分类精度的影响。分类器的效率在信噪比大于5 dB时增加,这种优越的性能可以归因于分类器的内部结构的鲁棒性和所提出的特征的优点; 在SNR低于10 dB时,调制状态的量子态数目越少精确度越高; 在SNR为9 dB时,4-APSK、16-APSK和32-APSK调制状态下系统的性能达到最佳; 在SNR为11 dB时,64-APSK调制状态下系统的性能达到最佳。
图 5 不同M-APSK调制格式下识别精度与信噪比的变化曲线
Figure 5. Variation cur ves of recognition accuracy and SNR under different M-APSK modulation formats
状态预测阶段,利用已构成的量子态识别分类器对未知量子态进行识别分类,经过多轮预测,Bob向Alice公开部分密钥信息对传输信道进行参数估计,反向协调和保密增强生成最终密钥。
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基于本文作者提出的高斯混合模型CVQKD协议,多环M-APSK连续变量量子密钥速率可由下式计算:
$ K_{\text {GMM }}=\frac{m}{W}\left[\varLambda(T) \beta I_{\mathrm{BA}}-\chi_{\mathrm{E}, \text { GMM }}-\Delta m\right] $
(24) 式中: Λ(T)为分类器的效率,其取值将随着传输距离的变化而变化; χE, GMM表示在集体攻击下窃听者Eve通过与量子态相互作用获得的有用信息的Holevo量:
$ \chi_{\mathrm{E}, \mathrm{GMM}}=S\left(\rho_{\mathrm{E}}\right)-\sum\limits_{y_j}^m P\left(y_j\right) S\left(\rho_{\mathrm{E}, y_j}\right) $
(25) $ \rho_{\mathrm{E}}=\sum\limits_{y_j}^m P\left(y_j\right) \rho_{\mathrm{E}, y_j} $
(26) 式中: S(ρE)=-Tr(ρEln ρE)为冯诺依曼熵[21]; P(yj)为Bob测量得到的原始密钥yj的概率; ρE, yj是Bob测量原始密钥yj时窃听者Eve拦截的状态。
在传统的离散调制CVQKD协议中,发送方包含m个有限且完整的编码事件A=Ai(i=1, 2, …, m),Alice随机选择发送给Bob,因离散调制相干态与其二进制的表示是固定的,Bob测量的原始密钥应服从均匀分布,在四态协议与八态协议中即P(yj)=1/4、P(yj)=1/8,因此窃听者在截获量子态后可恢复其对应编码;在本文作者提出的方案中,对于编码的对应关系有且仅有Alice知道,通过状态学习阶段Bob学习相对应的编码规则,因此对于窃听者Eve在截获到量子态时,即P(yj)=1/m→0(m→∞),很难获取有用的密钥信息。
基于GMM的幅度相位联合编码CVQKD安全性分析
GMM-based amplitude-phase joint coding CVQKD security analysis
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摘要: 为了提高离散调制连续变量量子密钥分发协议性能,采用幅度相移键控(APSK)联合调制格式方法,在接收端采用高斯混合模型分类算法识别量子态来提升系统的性能。将密钥传输系统分为状态学习和状态预测两个阶段,在状态学习阶段基于高斯混合模型的分类器对已知类别的量子态进行训练,学习不同类别量子态的幅度相位分布情况;在状态预测阶段则采用最小欧氏距离计算出待测量子态属于每个类别的后验概率,从而判定待测量子态的类别,并通过参数估计、反向协调和保密增强生成最终密钥。结果表明,在反向协调和集体攻击下128-APSK离散调制连续变量量子密钥分发协议能够有效生成安全密钥,当安全码率为10-6 bit/symbol时,传输距离可接近60 km。该研究为进一步提高离散调制连续变量量子密钥分发协议的系统性能提供了参考。Abstract: For the purpose of improving the performance of discrete modulation-continuous variable quantum key distribution (CVQKD) protocols, the amplitude phase-shift keying(APSK) modulation format method was used, proposed to use Gaussian mixed model (GMM) classification algorithm at the receiver side to identify quantum states to enhance the performance of the system, dividing the key transmission system into two stages: state learning and state prediction. In the state learning stage, the classifier based on GMM was trained for known classes of quantum states, learning the amplitude-phase distribution of different classes of quantum states. The state prediction stage then used the minimum Euclidean distance to calculate the posterior probability that the quantum state to be measured belongs to each class, thus determining the class of the quantum state to be measured, and generating the final key by parameter estimation, reverse coordination and secrecy enhancement. Numerical simulation results show that the 128-APSK discrete modulation continuous-variable quantum key distribution protocol can effectively generate secure keys under reverse coordination and collective attack, and the transmission distance can approach 60 km when the secure code rate is 10-6 bit/symbol. This study provides a reference for further improving the system performance of discrete modulation continuous-variable quantum key distribution protocols.
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表 1 APSK调制类型的星座点
Table 1. Constellation points for APSK modulation types
constellation points of 16-APSK, 32-APSK, 64-APSK, and 128-APSK $C_k \in R_k \exp \left[\mathrm{j}\left(\frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}}{n_k} i_k+\theta_k\right)\right], $ $\left\{{array}{l} k \in[1, 2], n_k \in[4, 12], i_k \in[0, \cdots, 11], \text { if } M=16 \\ k \in[1, 2, 3], n_k \in[4, 12, 16], i_k \in[0, \cdots, 15], \text { if } M=32 \\ k \in[1, 2, 3, 4], n_k \in[4, 12, 16, 32], i_k \in[0, \cdots, 31], \text { if } M=64 \\ k \in[1, 2, 3, 4, 5], n_k \in[4, 12, 16, 32, 64], i_k \in[0, \cdots, 63], \text { if } M=128 {array}\right.$ -
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